Équation de Tsiolkovski

Cette équation est établie en intégrant l'équation de conservation de la quantité de mouvement entre le début et la fin de la phase propulsée sous les hypothèses suivantes :

• l'étude du mouvement est faite dans un référentiel d'inertie ;
• l'astronef n'est soumis qu'à la force de poussée fournie par ses moteurs, aucune autre action extérieure (gravité, efforts aérodynamiques) n'est prise en compte (voir à la fin de l'article pour la prise en compte de la gravité) ;
• la vitesse d'éjection des gaz est constante.

À un instant donné, lorsque le vaisseau de masse ${\displaystyle m}$ se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ éjecte une petite quantité d'ergol à la vitesse ${\displaystyle {\vec {v_{e}}}}$, on note ${\displaystyle dm}$ sa variation de masse[N 3] et ${\displaystyle d{\vec {v}}}$ sa variation de vitesse. La variation de quantité de mouvement du système isolé (vaisseau + ergol éjecté) est nécessairement nulle, il vient donc :

${\displaystyle m\cdot d{\vec {v}}+(-dm)\cdot {\vec {v_{e}}}={\vec {0}}}$.

Pour obtenir la variation de vitesse ${\displaystyle \Delta {\vec {v}}}$ de l'astronef quand sa masse passe de ${\displaystyle m_{i}}$ à ${\displaystyle m_{f}}$, on peut intégrer cette petite variation de vitesse :

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\int _{{\vec {v}}={\vec {v_{i}}}}^{\vec {v_{f}}}d{\vec {v}}=\int _{m=m_{i}}^{m_{f}}{\frac {\vec {v_{e}}}{m}}dm={\vec {v_{e}}}\int _{m_{i}}^{m_{f}}{\frac {dm}{m}}={\vec {v_{e}}}\ln {\frac {m_{f}}{m_{i}}}=-{\vec {v_{e}}}\ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}}$.

Puisque ${\displaystyle m_{i}>m_{f}}$, ${\displaystyle \ln(m_{i}/m_{f})>0}$, la variation de vitesse du vaisseau a donc comme prévu la même direction que la projection des ergols et en sens opposé.

Il est souvent dit que pour trouver cette équation, il faut que le débit massique d'ergol soit constant pendant la phase de propulsion, mais ce n'est pas obligatoire, même si cela simplifie le travail d'intégration dans un premier temps.

L'équation est valable aussi bien lors d'une phase d'accélération (la poussée est dans la direction de la vitesse, ${\displaystyle \Delta v}$ est positif : c'est un accroissement de vitesse) que de décélération (la poussée est de direction opposée à la vitesse, ${\displaystyle \Delta v}$ est négatif : c'est une réduction de vitesse).

La différence entre la masse initiale ${\displaystyle m_{i}}$ et la masse finale ${\displaystyle m_{f}}$ correspond à la masse que la fusée a éjectée durant sa propulsion ; on l'appelle masse d'appui (« d'appui » parce que c'est la masse sur laquelle la fusée s'est appuyée pour se propulser). La projection de masse d'appui est d'ailleurs la seule façon de se déplacer dans l'espace (même la propulsion à voile solaire se fait par modification de la quantité de mouvement du vent solaire).

Pour les fusées thermo-chimiques (Ariane, Soyouz, navette, etc.), la masse d'appui est la masse des ergols (poudre, ou dioxygène et dihydrogène), laquelle est également source d'énergie chimique : c'est donc la masse d'appui elle-même qui contient l'énergie qui servira à sa propre éjection. Ce n'est plus le cas pour les moteurs ioniques (qui représentent sans doute l'avenir de la conquête spatiale). Ceux-ci sont régis tout pareillement par l'équation de Tsiolkovski, mais leur masse d'appui est constituée d'un gaz neutre (du xénon) ; c'est la très forte vitesse d'éjection de cette masse d'appui qui rend ces moteurs très économes en masse d'appui (il leur faut cependant une source d'énergie pour réaliser l'éjection). À ce titre, le fonctionnement des moteurs ioniques est comparable à celui des fusées à eau, dans lesquelles l'eau n'est utilisée que pour sa masse (l'énergie résidant dans l'air comprimé).

Dans le cas où la phase propulsée est réalisée au moyen de plusieurs étages fonctionnant successivement, la même équation de Tsiolkovski peut être utilisée pour le vol de chaque étage. On peut ainsi montrer l'intérêt de telles fusées à plusieurs étages. Voir l'exemple dans la section suivante.

Malgré l'apparente simplicité de cette équation et des hypothèses qui la sous-tendent, elle constitue une approximation utile au calcul des manœuvres de changement d'orbite, ces manœuvres étant qualifiées d'impulsionnelles, c’est-à-dire effectuées en un temps suffisamment bref pour que les hypothèses de l'équation de Tsiolkovski restent approximativement valables.

Si le vaisseau utilise un débit massique d'ergol constant ${\displaystyle q}$ on peut écrire :

${\displaystyle \Delta t={\frac {\Delta m}{q}}}$.

Or l'équation de Tsiolkovski peut s'écrire :

${\displaystyle {\frac {\Delta v}{v_{e}}}=\ln {\frac {m_{i}}{m_{i}-\Delta m}}}$.

C'est-à-dire, en changeant de signe et en passant à l'exponentielle :

${\displaystyle {\frac {m_{i}-\Delta m}{m_{i}}}=e^{-\Delta v/v_{e}}}$.

On en tire l'expression de ${\displaystyle \Delta m}$ qu'on reporte dans celle de ${\displaystyle \Delta t}$ :

${\displaystyle \Delta t={\frac {m_{i}}{q}}\,\left(1-e^{-\Delta v/v_{e}}\right)}$.

• [Moore 1813] (en) Williams Moore, A treatise on the motion of rockets : to which is added an essay on navel gunnery, in theory and practice ; designed for the use of the army and navy, and in all places of military, naval and scientific instruction, Londres, 1813.
• [Coquilhat 1873] Casimir-Érasme Coquilhat, « Trajectoires des fusées volantes dans le vide », Mémoires de la Société royale des sciences de Liège, 2^e série, t. V,‎ nov. 1873, art. n^o 5, [2]−33 p. (OCLC 248870034, lire en ligne), réimpr. :
  • [Coquilhat 2018] Casimir-Érasme Coquilhat, Trajectoires des fusées volantes dans le vide : 1873, Dijon, Nielrow, janv. 2018, 1^re éd., 1 vol., 51 (ISBN 978-2-9559619-5-7, EAN 9782955961957, OCLC 1043726396, BNF 45456511).
• [Tsiolkovski 1903] (ru) Konstantin Èduardovič Ciolkovskij, « Исследовние мировых пространств реактивными приборами » [« L'exploration de l'espace cosmique par des engins à réaction »], Научное обозрение, vol. 7, n^o 5,‎ 1903, p. 45-75 (résumé) — publication originale de l'article de Tsiolkovski énonçant l'équation fondamentale de l'astronautique.

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• [Bouchez 2010] Marc Bouchez, « Propulsion aérospatiale : lois simplifiées pour le dimensionnement et exercices d'application », Techniques de l'ingénieur,‎ 10 juillet 2010, art. BM 3 003, § 1.2 (« Formule de Tsiolkovski : cas d'une accélération constante en palier »), p. 3, col. 2 (résumé, lire en ligne).
• [Feodosiev et Siniarev 1959] (en) V. I. Feodosiev et G. B. Siniarev (trad. du russe par S. N. Samburof), Introduction to rocket technology [« Introduction à la technologie des fusées »], New York et Londres, Academic Press, janvier 1959 (réimpr. mai 2014), 1^re éd., X-344 p., in-8^o (15,2 × 23,5 cm) (ISBN 978-1-4832-3201-0, EAN 9781483232010, OCLC 840470516, BNF 44667202, DOI 10.1016/C2013-0-12448-8, présentation en ligne, lire en ligne), chap. I^er (OCLC 7333041790, DOI:10.1016/B978-1-4832-3201-0.50006-1, résumé), section B (« Tsiolkovski equation for the ideal velocity of a rocket ») [« Équation de Tsiolkovski pour la vitesse idéale d'une fusée »], p. 16-22.
• [Macdonald et Badescu 2014] (en) Malcolm Macdonald et Viorel Badescu (éditeur), The international handbook of space technology [« Le guide / manuel international de la technologie spatiale »], Heidelberg et Chichester, Springer et Praxis, coll. « Praxis books / Astronautical engineering », février 2014, 1^re éd., XV-731 p., 21,6 × 27,9 cm (ISBN 978-3-642-41100-7 et 978-3-662-50608-0, OCLC 958469721, BNF 44707981, DOI 10.1007/978-3-642-41101-4, SUDOC 199104573, lire en ligne) :
  • [Macdonald, Norris et Spencer 2014] (en) Malcolm Macdonald, Pat Norris et David B. Spencer, « Introduction », dans op. cit., chap. 1^er [« Introduction (générale) »], p. 1-24 (OCLC 7327569974, DOI:10.1007/978-3-642-41101-4_1). 
  • [Bonnal et al. 2014] (en) Christophe Bonnal, Alessandro Ciucci, Michael H. Obersteiner et Oskar Haidn, « Launch systems », dans op. cit., chap. 8, p. 165-195 [« Systèmes de lancement »] (OCLC 7326880462, DOI:10.1007/978-3-642-41101-4_8. 
• [Rax 2005] Jean-Marcel Rax (préf. de Bernard Bigot), Physique des plasmas : cours et applications, Paris, Dunod, coll. « Sciences sup », août 2005, 1^re éd., XII-426 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-007250-7, EAN 9782100072507, OCLC 77230441, BNF 40025642, SUDOC 090320409, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Serra, Jung et Picard 2013] (en) Jean-Jacques Serra, Philippe Jung et Théo Pirard, « Casimir Coquilhat's theory on rocket motion : the rocket equation established in 1871 ! », dans John Harlow (éditeur), History of rocketry and astronautics (actes du 42^e symposium d'histoire de l'Académie internationale d'astronautique, tenu à Glasgow en 2008), San Diego, Univelt, coll. « AAS history series » (n^o 39) et coll. « IAA history symposia » (n^o 28), 2013, 1^re éd., XII-345 p., 25 cm (ISBN 978-0-87703-589-3 et 978-0-87703-590-9, EAN 9780877035893, OCLC 840430825, présentation en ligne), 2^e partie, chap. 7, p. 121-134 (résumé).

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