Équation de conservation

On peut définir une loi de conservation pour une variable conservative (extensive) ${\displaystyle \Phi }$ (de densité ${\displaystyle \phi }$) entraînée à la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ en utilisant le théorème de transport de Reynolds sur un domaine de contrôle ${\displaystyle V}$ d'enveloppe ${\displaystyle \partial V}$ sur laquelle on définit la normale sortante ${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\phi \ \mathrm {d} V+\int _{\partial V}\phi \,{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}\ \mathrm {\mathrm {\mathrm {d} } } A=\int _{V}S\ \mathrm {d} V}$

Cette équation de bilan dit que la variation dans le volume de référence (premier terme dans l'équation) est égal à ce qui sort ou ce qui rentre (deuxième terme) plus ce qui est créé ou disparaît dans le volume au travers du terme S pris positif dans le cas de la production.

En appliquant le théorème de flux-divergence, le terme surfacique est transformé en un terme volumique :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\phi \ \mathrm {d} V+\int _{V}{\vec {\nabla }}\cdot (\phi \,{\vec {v}})\ \mathrm {d} V=\int _{V}S\ \mathrm {d} V}$

et par application de la règle de Leibniz

${\displaystyle \int _{V}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\ \mathrm {d} V+\int _{V}{\vec {\nabla }}\cdot (\phi \,{\vec {v}})\ \mathrm {d} V=\int _{V}S\ \mathrm {d} V\qquad \Rightarrow \qquad \int _{V}\left[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\phi \,{\vec {v}})-S\ \right]\mathrm {d} V=0}$

Cette expression est valide quel que soit le volume de référence. Elle implique donc que l'intégrande soit nul :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\phi \,{\vec {v}})=S}$

Cette dernière expression constitue l'équation de conservation de ${\displaystyle \Phi }$.

On peut être amené a écrire l'équation de conservation dans un repère noté ${\displaystyle \xi }$ entraîné à la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$, donc défini par

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial t}}={\vec {v}}}$

L'accélération de ce système est donné par la dérivée particulaire

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \phi }{\mathrm {D} t}}\,=\left.{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right|_{\xi }=\left.{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right|_{x}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi }$

En tenant compte de l'expression de la conservation en coordonnées fixes (dites eulériennes) il vient

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \phi }{\mathrm {D} t}}\,=S-{\vec {\nabla }}\cdot (\phi \,{\vec {v}})+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi =S-\phi {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {v}}}$

On réécrit cette équation sous une forme analogue à celle utilisée pour un système fixe

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \phi }{\mathrm {D} t}}+\phi {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {v}}=S}$

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