Équation de la force vive

L'équation de la force vive[1] est définie par :

${\displaystyle v={\sqrt {GM\left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)}}}$

où :

• ${\displaystyle v\,\!}$ est la vitesse relative des deux corps ;
• ${\displaystyle r\,\!}$ est la distance entre les deux corps ;
• ${\displaystyle a\,\!}$ est le demi-grand axe ;
• ${\displaystyle G\,\!}$ est la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle M}$ est la masse du corps central.

Note : le produit ${\displaystyle GM}$ peut également être écrit sous la lettre μ. Toutefois, il ne faut pas confondre cette écriture de ${\displaystyle GM}$ avec la masse réduite μ, explicitée ci-dessous.

L'énergie orbitale totale est la somme des énergies potentielles partagées et de l'énergie cinétique des deux corps considérés

${\displaystyle E={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r}}+{\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}$

• ${\displaystyle v_{1}\,\!}$ est la vitesse du corps 1 relative au centre de gravité des deux corps.
• ${\displaystyle v_{2}\,\!}$ est la vitesse du corps 2 relative au centre de gravité des deux corps.

L'énergie orbitale peut être calculée en utilisant seulement des quantités relatives

${\displaystyle E={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r}}+\mu {\frac {v^{2}}{2}}}$

• ${\displaystyle v\,\!}$ est la vitesse relative des deux corps.
• ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}\!+\!m_{2}}}}$ est la masse réduite.

Pour des orbites circulaire et elliptique, l'énergie totale est donnée de façon plus précise

${\displaystyle E={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{2a}}}$.

La division du total de l'énergie par la masse réduite donne l'énergie vis viva, mieux connue aujourd'hui comme l'énergie orbitale spécifique

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {G(m_{1}\!+\!m_{2})}{r}}}$.

Pour les orbites circulaire et elliptique

${\displaystyle \epsilon ={\frac {-G(m_{1}\!+\!m_{2})}{2a}}}$.

Des précédentes équations, on obtient l'équation de la force vive :

${\displaystyle v^{2}=G(m_{1}\!+\!m_{2})\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$.

À partir de r et v en un point de l'orbite, il est possible de calculer r et v à n'importe quel autre point de l'orbite[2].

De même, à partir de r et v en un point de l'orbite, l'énergie orbitale spécifique ${\displaystyle \epsilon \,\!}$ peut être calculée, ce qui permet de déterminer si un objet orbitant autour d'un autre plus gros a assez d'énergie pour rester en orbite.

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