Équation des ondes

L'équation de d'Alembert (parfois appelée équation d'onde ou équation des ondes) est l'équation générale qui décrit la propagation d'une onde, qui peut être représentée par une grandeur scalaire ou vectorielle.

Une impulsion mécanique se propage[1] à travers un fil à bouts fixes (corde vibrante), comme modélisé par l'équation des ondes.

Dans le cas vectoriel, en espace libre, dans un milieu homogène, linéaire et isotrope, l'équation des ondes s'écrit :

\nabla ^{2}{\vec {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}.

L'opérateur

\nabla ^{2}=\Delta =\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}^{2}}}

(où N est la dimension de l'espace) est appelé laplacien et on note parfois

\square =-\Delta +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}

l'opérateur des ondes, ou d'alembertien.

${\vec {E}}$ décrit à la fois l'amplitude de l'onde, et sa polarisation (par son caractère vectoriel). c est assimilable à la vitesse de propagation de l'onde. Par exemple, dans le cas d'une onde sonore, c est la vitesse du son qui est de 343 m/s dans l'air à 20 °C. Dans le cas de phénomènes plus complexes tel la propagation de l'onde variant avec sa fréquence (soit la dispersion), on remplace c par la vélocité de phase :

v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.

En s'intéressant à chacune des composantes de ${\vec {E}}$ (en projetant la relation dans chacune des directions de l'espace), nous obtenons une équation portant sur un scalaire, appelée équation de d'Alembert :

\Delta U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}.

Historique

Le scientifique français Jean le Rond d'Alembert, qui a établi l'équation des ondes en une dimension d'espace en 1746.

L'établissement de l'équation des ondes est venu de l’étude des vibrations d'une corde de violon. Afin de pouvoir modéliser ce comportement, les mathématiciens du XVII^e siècle ont appliqué la deuxième loi de Newton à la corde, d'abord vue comme un ensemble fini de masses ponctuelles reliées par des ressorts (dont le comportement est donné par la loi de Hooke établie en 1660), avant d'augmenter le nombre de masses pour se rapprocher de la corde[2].

En 1727, Jean Bernoulli reprend l'expérience de la corde de violon et constate que ses vibrations forment une sinusoïde et que la variation de son amplitude en un point forme également une courbe sinusoïdale, mettant ainsi en évidence les modes[2]. En 1746, Jean le Rond d'Alembert reprend le modèle des masses ponctuelles liées par des ressorts et établit uniquement à partir des équations que les vibrations de la corde dépendent à la fois de l'espace et du temps.

L'équation en dimension 1 d'espace

Établissement par les lois de Newton et de Hooke

Considérons une chaine de masses ponctuelles m interconnectées par des ressorts sans masse de longueur h et de raideur k:

Considérons u(x) le déplacement de la masse m en x par rapport à sa position de repos à l'horizontale. Les forces exercées sur la masse m au point x+h sont :

F_{\mathrm {Newton} }=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}

F_{\mathrm {Hooke} }=F_{x+2h}-F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]-k[u(x+h,t)-u(x,t)]

Le déplacement de la masse au point x+h est donc donné par :

{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={k \over m}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]

Le changement de notations permet de rendre la dépendance au temps de u(x) explicite.

En considérant une chaine de N masses équidistantes réparties sur une longueur L = Nh, de masses totale M = Nm, et de raideur totale K = k/N, on obtient:

{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}

En faisant tendre N vers l'infini et donc h vers 0 (en considérant la longueur totale comme restant finie), sous des hypothèses de régularité, on obtient :

{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}

avec $c 2 = KL 2 ⁄ M = kh 2 ⁄ m$ le carré de la vitesse de propagation de la déformation.

Résolution

En dimension 1 d'espace, l'équation s'écrit

{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}.

Lorsque la variable $z$ parcourt toute la droite réelle, la solution générale de cette équation est la somme de deux fonctions :

U(z,t)=F(z-ct)+G(z+ct).

En effet, on peut écrire :

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)U(z,t)=0

soit :

\left({\frac {\partial }{\partial z}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial z}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)U(z,t)=0

et si l'on pose a = z – ct et b = z + ct, on obtient :

\left({\frac {\partial }{\partial a}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial b}}\right)V(a,b)=0

où

V(a,b)=U\left({\frac {a+b}{2}},{\frac {b-a}{2c}}\right)

qui se résout en : $V(a,b)=F(a)+G(b)$ soit $U(z,t)=F(z-ct)+G(z+ct)$

Le premier terme est une onde se propageant dans le sens des z croissants (appelée onde progressive), et le deuxième terme dans le sens des z décroissants (appelée onde régressive).

Dans le cas d'un problème à condition initiale, les fonctions F et G sont directement liées à elles : pour des conditions initiales de la forme

{\begin{cases}U(z,0)&=f(z),\\\partial _{t}U(z,0)&=g(z)\end{cases}}

la solution s'écrit sous la forme appelée « formule de d'Alembert » :

U(z,t)={\frac {1}{2}}f(z-ct)+{\frac {1}{2}}f(z+ct)+{\frac {1}{2c}}\int _{z-ct}^{z+ct}g(s)\,\mathrm {d} s.

Équation des ondes en dimension 3

Dans le cas d'une onde scalaire dans un milieu homogène, il convient de travailler en coordonnées sphériques pour résoudre l'équation des ondes :

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}.

En réécrivant l'équation sous la forme :

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0,

il vient, en reprenant les calculs faits sur le problème 1D, que la solution s'écrit sous la forme :

u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),

où F et G sont des fonctions arbitraires.

Il apparaît ainsi que les solutions sont des ondes sphériques, se propageant ou se rapprochant du point d'origine du repère, considéré comme un point source, où les ondes sont singulières tandis qu'elles s'éloignent avec une amplitude décroissante en ¹⁄_r.

Conservation de l'énergie

Si $u$ est une solution de l'équation des ondes alors l'énergie

E(u(t))={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{N}}\left|{\frac {\partial u}{\partial t}}(t,x)\right|^{2}\mathrm {d} x+{\frac {c^{2}}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{N}}\left|\nabla u(t,x)\right|^{2}\mathrm {d} x

est conservée au cours du temps. Ici on a noté $N$ la dimension d'espace et

\left|\nabla u(t,x)\right|^{2}=\sum _{j=1}^{N}\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}(t,x)\right|^{2}.

Équation dans un domaine borné avec condition au bord

On peut également considérer l'équation des ondes dans un domaine de l'espace $D$ :

\square u(t,x)=0\quad t\in \mathbb {R} ,\quad x\in D

avec des conditions aux limites, par exemple :

u(t,x)=0,\quad t\in \mathbb {R} ,\quad x\in \partial D

(conditions aux limites de Dirichlet) où $\partial D$ est le bord du domaine $D$ , ou

\partial _{\nu }u(t,x)=0,\quad t\in \mathbb {R} ,\quad x\in \partial D

(conditions aux limites de Neumann) où $\partial _{\nu }$ est la dérivée normale extérieure au bord $\partial D$ .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wave equation » (voir la liste des auteurs).

Douglas C. Giancoli, Physique générale : Ondes, optique et physique moderne, 1993, 488 p. (ISBN 978-2-8041-1702-3, lire en ligne), p. 20.
Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Flammarion, « Chapitre 8 : Bonnes vibrations - L'équation d'onde »

Voir aussi

Onde sur une corde vibrante

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[1] Douglas C. Giancoli, Physique générale : Ondes, optique et physique moderne, 1993, 488 p. (ISBN 978-2-8041-1702-3, lire en ligne), p. 20.

[Stewart-2] Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Flammarion, « Chapitre 8 : Bonnes vibrations - L'équation d'onde »