Équation différentielle homogène
L'expression équation différentielle homogène a deux significations totalement distinctes et indépendantes.
Équation différentielle du premier ordre, homogène de degré n
Une équation différentielle du premier ordre mais non nécessairement linéaire est dite homogène de degré n si elle peut s'écrire sous la forme
où F est une fonction homogène de degré n, c'est-à-dire vérifiant
- .
Autrement dit (en posant h(u)=F(1,u)), c'est une équation qui s'écrit
- .
Le cas n = 0
Le cas le plus étudié est celui où le degré d'homogénéité est 0, à tel point que dans ce cas on ne mentionne même pas le degré. La résolution d'une telle équation se fait par séparation des variables : grâce à la substitution , l'équation homogène
- .
se transforme en une équation à variables séparées :
- .
Équation différentielle linéaire homogène
Une équation différentielle linéaire d'ordre quelconque est dite homogène si son second membre est nul, c'est-à-dire si elle est de la forme
où l'opérateur différentiel L est une application linéaire et y est la fonction inconnue.
Exemples
est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.
- constantes supposées connues
est une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients variables
- fonctions supposées connues
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