Équation différentielle linéaire d'ordre un

Ce sont les équations qui se ramènent à ${\displaystyle y'+ky=0}$ où k est un réel. On rencontre ce type d'équations :

• avec k positif dans la modélisation de la décroissance radioactive dans un milieu homogène et fermé ;
• avec k négatif lors de la modélisation de la croissance exponentielle d'une population. Ce modèle possède cependant ses limites, la population ne pouvant pas, dans un milieu fermé, croître indéfiniment. On lui préfère alors le modèle de Verhulst ou le modèle de Gompertz.

Les solutions d'une telle équation sont les fonctions définies sur ℝ par

${\displaystyle f(x)=Ce^{-kx}}$

où C est un réel dont la valeur se détermine dès que sont connues les conditions initiales : si pour ${\displaystyle x_{0}}$ on a ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ alors ${\displaystyle C=y_{0}e^{kx_{0}}}$.

On peut voir ce résultat comme un cas particulier du § ci-dessous, ou le démontrer directement.

Dans le cas général, l'équation différentielle linéaire homogène s'écrit

${\displaystyle a(x)y'(x)+b(x)y(x)=0}$

ou en abrégé :

${\displaystyle ay'+by=0}$.

En travaillant sur un intervalle I où la fonction a ne s'annule pas, et en notant

${\displaystyle A}$ une primitive de la fonction ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$,

les solutions sur I sont les fonctions de la forme

${\displaystyle y(x)=K\mathrm {e} ^{-A(x)}}$

où K est une constante dont la valeur se détermine par la donnée des conditions initiales.

Le calcul de primitive A n'est pas toujours réalisable à l'aide des fonctions usuelles ; la solution peut donc n'avoir qu'une expression sous forme d'intégrale.

Cette résolution de l'équation homogène à coefficients non constants est, à son tour, un cas particulier du § « Cas général » ci-dessous.

Nous obtenons en général des équations du type ${\displaystyle y'=my+p}$. Ces équations servent à modéliser, par exemple, la charge ou la décharge d'un condensateur dans un circuit RC.

L'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur ℝ par

${\displaystyle f(x)=Ce^{mx}-{\frac {p}{m}}}$

où C est un réel se déterminant par la donnée des conditions initiales, par exemple, ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$, ce qui donne alors :

${\displaystyle f(x)=\left(y_{0}+{\frac {p}{m}}\right)e^{-mx_{0}}e^{mx}-{\frac {p}{m}}.}$

On cherchera alors une solution particulière de la forme

• d'un polynôme de degré n si c est un polynôme de degré n ;
• d'une combinaison linéaire de ${\displaystyle \cos(\omega x+\phi )}$ et ${\displaystyle \sin(\omega x+\phi )}$ si ${\displaystyle c(x)=A\cos(\omega x+\phi )+B\sin(\omega x+\phi ).}$

Une méthode de résolution d'une équation avec second membre

${\displaystyle ay'+by=c}$

est la méthode de variation des constantes. Celle-ci consiste à se ramener, par un changement de fonction variable, à un problème de calcul de primitive.

On trouve ainsi[1], en supposant à nouveau que la fonction a ne s'annule pas sur l'intervalle I et que

${\displaystyle A}$ est une primitive sur I de la fonction ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$,

que les fonctions ${\displaystyle y}$ solutions sur I de ${\displaystyle ay'+by=c}$ sont les fonctions de la forme

${\displaystyle y(x)=\mathrm {e} ^{-A(x)}B(x)}$,

où ${\displaystyle B}$ est une primitive quelconque de la fonction ${\displaystyle {\frac {c}{a}}\mathrm {e} ^{A}}$.

Soit finalement, en fixant un point ${\displaystyle x_{0}\in I}$ :

${\displaystyle y(x)=\mathrm {e} ^{-A(x)}\left(K+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {c(s)}{a(s)}}\mathrm {e} ^{A(s)}\ \mathrm {d} s\right)}$,

où K est, à nouveau, une constante déterminée par les conditions initiales.

Il faut donc réaliser un second calcul de primitive, ce qui peut empêcher de donner l'expression de la solution à l'aide des fonctions usuelles.