Équations de Jefimenko

Les vecteurs position r et r' sont utilisés dans le calcul

Les équations de Jefimenko donnent le champ E et le champ B produits par une charge arbitraire ou une distribution de courant, de densité de charge ρ et de densité de courant J[3] :

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]dV',}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,dV',}$

où r' est un point dans la distribution de charge, r est un point dans l'espace, et

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

est le temps retardé (en). Il y a des expressions similaires pour D et H[4].

Ces équations sont la généralisation, dépendant du temps (électrodynamique), de la loi de Coulomb et de la loi de Biot et Savart, qui étaient à l'origine vraies uniquement pour les champs en électrostatique et en magnétostatique ainsi que pour les courants continus.

Les équations de Jefimenko peuvent être déduites[5] à partir des potentiels retardé φ et A :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}dV',\\&\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}dV',\end{aligned}}}$

qui sont les solutions des équations de Maxwell formulées sous forme des potentiels en remplaçant φ et A dans les équations de E et B en fonction des potentiels (potentiels électromagnétiques) :

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Enfin en utilisant la relation :

${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$

on trouve les champs E et B en fonction des sources, c'est-à-dire les densités de charge ρ et les densités de courant J et non plus en fonction des potentiels φ et A.