Équivalence de Morita

Soit ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle S}$ deux anneaux, alors les propriétés suivantes sont équivalentes[3] :

• ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle S}$ sont équivalents au sens de Morita ;
• La catégorie des ${\displaystyle R}$-modules à gauche est équivalente à la catégorie des ${\displaystyle S}$-modules à gauches ;
• La catégorie des ${\displaystyle R}$-modules à droite est équivalente à la catégorie des ${\displaystyle S}$-modules à droite ;
• ${\displaystyle R}$ est isomorphe à l'anneau des endomorphismes d'un générateur dans la catégorie des ${\displaystyle S}$-modules (à droite ou à gauche) ;
• ${\displaystyle S}$ est isomorphe à l'anneau des endomorphismes d'un générateur dans la catégorie des ${\displaystyle R}$-modules (à droite ou à gauche).

• Deux anneaux isomorphes sont a fortiori équivalents au sens de Morita ;
• Soit ${\displaystyle R}$ un anneau (avec unité), et ${\displaystyle M_{n}(R)}$ l'anneau des matrices carrées à coefficients dans ${\displaystyle R}$. Alors pour tout ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle M_{n}(R)}$ sont équivalents[4].

• De nombreuses propriétés sont préservées par l'équivalence de Morita, comme le fait d'être simple, semi-simple, noethérien, artinien.
• En revanche, d'autres propriétés importantes ne sont pas préservées par l'équivalence : le fait d'être commutatif, local, réduit, ou intègre par exemple.
• Si deux anneaux sont équivalents, alors leurs centres sont isomorphes (et a fortiori, équivalents) ;
• Si deux anneaux ${\displaystyle R,S}$ sont équivalents, alors ${\displaystyle R/J(R)}$ et ${\displaystyle S/J(S)}$ sont équivalents, où ${\displaystyle J}$ désigne l'idéal de Jacobson.
• Si deux anneaux sont équivalents, alors il y a une équivalence entre leurs catégories de modules projectifs.