(p, q)-shuffle

En mathématiques, pour deux entiers naturels p et q, un (p, q)-shuffle[1] est[2]^,[3] un élément σ du groupe symétrique S_p+q des permutations de l'ensemble {1, …, p + q}[4], tel que

${\displaystyle \sigma (1)<\ldots <\sigma (p)\quad {\rm {et}}\quad \sigma (p+1)<\ldots <\sigma (p+q).}$

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Les (p, q)-shuffles sont en bijection avec — et parfois définis comme[3]^,[5] — les partitions de l'ensemble [p + q – 1] = {0, …, p + q – 1} en deux sous-ensembles complémentaires μ, ν à p et q éléments, numérotés en croissant :

${\displaystyle \mu _{1}<\ldots <\mu _{p}\quad {\rm {et}}\quad \nu _{1}<\ldots <\nu _{q}.}$

Leur nombre est donc égal au coefficient binomial

${\displaystyle {p+q \choose p}}$

et la signature de la permutation σ associée à la partition (μ, ν) est égale à[3]

${\displaystyle (-1)^{\varepsilon (\mu )},\quad {\rm {avec}}\quad \varepsilon (\mu )=\sum _{i=1}^{p}(\mu _{i}-(i-1)).}$