2-catégorie

Composition verticale de deux 2-morphismes dans une 2-catégorie.

Composition horizontale de deux 2-morphismes dans une 2-catégorie.

Compatibilité entre les compositions horizontales et verticales de 2-morphismes.

Une 2-catégorie (stricte) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est la donnée :

• d'une classe de 0-cellules (ou objets) ;
• pour tous objets A, B, d'une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,B)}$. Les objets f, g : A → B de cette catégorie sont appelés 1-cellules (ou morphismes ou encore 1-morphismes) et les morphismes α : f ⇒ g sont appelés 2-cellules (ou 2-morphismes).

Les 1-morphismes peuvent être composés suivant les objets. Il s'agit de la composition usuelle des morphismes dans une catégorie.

Les 2-morphismes peuvent être composés de deux manières : suivant les objets et suivant les 1-morphismes. Ces deux compositions sont appelées respectivement composition horizontale et composition verticale.

La composition verticale est définie comme suit. Soient deux 0-cellules A et B, et trois 1-morphismes f, g, h : A → B. Soient les 2-morphismes α : f ⇒ g et β : g ⇒ h. Alors la composition verticale de α et β est le 2-morphisme β ${\displaystyle \circ }$ α : f ⇒ h, qui est la composition de morphismes au sens usuel dans la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,B)}$.

La composition horizontale est définie comme suit. Soient trois 0-cellules A, B et C, et quatre 1-morphismes f, g: A → B et f' , g' : B → C. Soient deux 2-morphismes α : f ⇒ g et β : f' ⇒ g' . On peut définir les composées de 1-morphismes f'f: A → C et g'g: A → C. Dans une 2-catégorie, on suppose qu'il existe un foncteur de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(B,C)\times {\mathcal {C}}(A,B)}$ vers ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,B)}$, qui associe aux deux 2-morphismes α et β un 2-morphisme noté βα : f'f⇒ g'g. Cela se traduit par une relation de cohérence entre les compositions horizontale et verticale. Si on a quatre 2-morphismes α : f ⇒ f' , α' : f' ⇒ f", β : g ⇒ g' , β' : g' ⇒ g", alors on a (β' ${\displaystyle \circ }$ β)(α' ${\displaystyle \circ }$ α) = β'α' ${\displaystyle \circ }$ βα.

De plus, si id_A est le 1-morphisme identité de l'objet A et si Id_idA est le 2-morphisme identité de l'objet id_A dans la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,A)}$, alors la composée horizontale de ce 2-morphisme par un 2-morphisme α est égal à α.

Une bicatégorie est une notion faible de 2-catégorie. L'associativité et la composition avec les morphismes identité dans la définition de 2-catégorie stricte sont satisfaites seulement à isomorphisme près.

Une bicatégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est la donnée :

• d'une classe de 0-cellules (ou objets) ;
• pour tous objets A, B, d'une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,B)}$. Les objets f, g : A → B de cette catégorie sont appelés 1-cellules (ou morphismes ou encore 1-morphimes) et les morphismes α : f ⇒ g dont appelés 2-cellules (ou 2-morphismes).
• pour tout objet A, d'une 1-cellule 1_A, appelée morphisme identité ;
• pour tout objets A, B, C, d'un foncteur ${\displaystyle \circ$ :{\mathcal {C}}(B,C)\times {\mathcal {C}}(A,B)\to {\mathcal {C}}(A,C)} appelé composition horizontale ;
• pour tout objets A, B, d'un isomorphisme naturel ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,B)\to {\mathcal {C}}(A,B)}$, appelé uniteur ;
• pour tout objets A, B, C, D, d'un isomorphisme naturel appelé associateur ;

tels que

• les associateurs satisfont l'identité du pentagone ;
• les uniteurs satisfont l'identité du triangle.

S'il y a exactement une 0-cellule A, alors la définition est celle d'une structure monoïdale sur la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}(A,A)}$.

Un morphisme f : A → B dans une 2-catégorie est appelé une équivalence s'il existe un morphisme g : B → A et des isomorphismes gf ≅ 1_A et fg ≅ 1_B.

Une adjonction dans une 2-catégorie consiste en la donnée de deux 1-cellules f : A → B et u : B → A et de deux 2-cellules η : 1_A → uf et ε : fu → 1_B satisfaisant les équations des triangles, c'est-à-dire les compositions

${\displaystyle f{\stackrel {f\eta }{\to }}fuf{\stackrel {\epsilon f}{\to }}f}$

et

${\displaystyle u{\stackrel {\eta u}{\to }}ufu{\stackrel {u\epsilon }{\to }}u}$

sont des identités. On dit que f est un adjoint à gauche de u.

Si les deux 2-cellules sont inversibles, on parle d'équivalence adjointe.

Un morphisme f: A → B dans une 2-catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est dit fidèle (respectivement pleinement fidèle, conservatif) si pour tout objet C dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, le foncteur induit

${\displaystyle {\mathcal {C}}(C,A)\to {\mathcal {C}}(C,B)}$

est fidèle (respectivement pleinement fidèle, conservatif).

Un morphisme f: A → B dans une 2-catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est dit discret s'il est fidèle et conservatif.

Une équivalence de 2-catégories C et D consiste en la donnée de :

• deux pseudo-foncteurs F : C → D, G : D → C ;
• deux transformations pseudo-naturelles G∘F → Id, F∘G → Id qui sont des équivalences, c'est-à-dire admettant des transformations pseudo-naturelles formant leurs inverses à isomorphisme près.