Analyse harmonique (mathématiques)

Les séries de Fourier visent à décomposer une fonction périodique en une « somme infinie de fonctions trigonométriques » de fréquences dont chacune est un multiple d'une fréquence fondamentale. Dans un premier temps, on procède à l'analyse du « contenu en fréquences », appelé spectre de la fonction. Puis, selon les hypothèses caractérisant la fonction et le cadre d'analyse choisi, divers théorèmes permettent de la recomposer.

Les espaces de Hilbert sont un bon cadre d'étude pour les séries de Fourier qui fournit un lien entre analyse harmonique et analyse fonctionnelle.

La transformation de Fourier généralise la théorie des séries de Fourier aux fonctions non périodiques et permet également de leur associer un spectre en fréquences. Ce dernier concerne alors toutes les fréquences. Ainsi, la sommation des composantes périodiques se présentera sous forme d'intégrale.

La transformée de Fourier classique sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ reste actuellement un domaine de recherche active, en particulier la transformation de Fourier sur des objets plus généraux comme les distributions tempérées. Par exemple, en imposant des contraintes à une distribution, elles peuvent se traduire directement sur sa transformée de Fourier. Le théorème de Paley-Wiener en est un exemple. Ce théorème a pour conséquence immédiate que la transformée de Fourier d'une distribution non nulle à support compact n'est jamais à support compact. C'est une forme élémentaire des relations d'incertitude de Heisenberg.

L'une des branches les plus modernes de l'analyse harmonique, initiée au milieu du XX^e siècle, est l'analyse sur les groupes topologiques. L'idée est que la transformation de Fourier peut être généralisée en une transformation des fonctions définies sur des groupes localement compacts.

La théorie pour les groupes abéliens localement compacts est la dualité de Pontriaguine. L'analyse harmonique étudie les propriétés de cette dualité et essaie de les étendre à d'autres structures, par exemple les groupes de Lie non abéliens.

En général, pour les groupes non abéliens localement compacts, l'analyse harmonique est liée à la théorie des représentations des groupes unitaires. Pour les groupes compacts, le théorème de Peter-Weyl explique comment obtenir les harmoniques en choisissant une représentation irréductible dans chaque classe d'équivalence. Ce choix des harmoniques permet de profiter de certaines propriétés utiles de la transformation de Fourier qui transforme le produit de convolution en produit usuel et révèle la structure de groupe sous-jacente.

Si le groupe n'est ni abélien ni compact, aucune théorie satisfaisante, c'est-à-dire équivalent au moins au théorème de Plancherel, n'est à présent connue. Mais certains cas particuliers ont été étudiés, comme le groupe spécial linéaire SL_n. Dans ce cas, les représentations de dimension infinie jouent un rôle crucial.