Anneau principal non commutatif

Soit l'anneau des opérateurs différentiels de la forme

${\displaystyle a_{0}\left(t\right){\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{1}\left(t\right){\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}+...+a_{n}\left(t\right)}$.

où les ${\displaystyle a_{i}\left(t\right)}$ sont des fractions rationnelles en ${\displaystyle t}$ à coefficients dans le corps ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Cet anneau ${\displaystyle B_{1}\left(k\right)}$ est un anneau principal simple.

Plus généralement, soit ${\displaystyle K}$ un corps, ${\displaystyle \alpha }$ un automorphisme de ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle \delta :K\rightarrow K}$ une ${\displaystyle \alpha }$-dérivation, et considérons l'anneau ${\displaystyle R=K[X;\alpha ,\delta ]}$ des polynômes tordus d'indéterminée ${\displaystyle X}$ à coefficients dans ${\displaystyle K}$ (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif). Cet anneau ${\displaystyle R}$ est principal (il est même euclidien). De plus, en supposant ${\displaystyle K}$ commutatif, il est simple si ${\displaystyle \delta :K\rightarrow K}$ est une dérivation extérieure, la réciproque étant exacte si ${\displaystyle K}$ est de caractéristique 0[8].

Soit de nouveau ${\displaystyle K}$ un corps, ${\displaystyle \alpha }$ un automorphisme de ${\displaystyle K}$ et considérons l'anneau des polynômes de Laurent tordus ${\displaystyle L=K\left[Y,Y^{-1};\alpha \right]}$ (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif). Cet anneau ${\displaystyle L}$ est principal (car obtenu par localisation d'un anneau principal) et, en supposant ${\displaystyle K}$ commutatif, ${\displaystyle L}$ est simple si, et seulement si aucune puissance de ${\displaystyle \alpha }$ n'est un automorphisme intérieur de ${\displaystyle K}$[9].

Rappelons (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif) que, ci-dessus, la loi de commutation s'écrit ${\displaystyle Xa=a^{\alpha }X+a^{\delta }}$ pour tout ${\displaystyle a\in K}$. En posant ${\displaystyle Z=X^{-1}}$ on obtient pour loi de commutation ${\displaystyle aZ=Za^{\alpha }+Za^{\delta }Z}$. On peut alors former l'anneau des séries formelles tordues, noté ${\displaystyle S=K[[Z;\alpha ,\delta ]]}$. Cet anneau est principal et local (avec pour unique idéal maximal ${\displaystyle SZS}$). Notons que tous les idéaux de ${\displaystyle S}$ sont bilatères, de la forme ${\displaystyle SZ^{n}S}$[10].

Par une démonstration semblable à celle du théorème des facteurs invariants (mais en prenant en compte la non commutativité éventuelle de l'anneau principal ${\displaystyle R}$), on montre ce qui suit[2]:

Soit ${\displaystyle A}$ une matrice à éléments dans ${\displaystyle R}$. Il existe des matrices inversibles ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$ telles que

${\displaystyle P^{-1}AQ=diag\left(e_{1},...,e_{r},0,...,0\right)}$, ${\displaystyle e_{i}\parallel e_{i+1}}$, ${\displaystyle e_{r}\neq 0}$

où ${\displaystyle r}$ est le rang de ${\displaystyle A}$ et où chaque ${\displaystyle e_{i}}$ est déterminé de manière unique à une similitude près. Notons que la matrice ci-dessus n'est pas nécessairement carrée.

L'existence de cette forme a été démontrée par Jacobson dans le cas où ${\displaystyle R}$ est un anneau euclidien non commutatif[11], résultat qui a été généralisé par Teichmüller au cas où ${\displaystyle R}$ est un anneau principal non commutatif[12]. L'unicité des ${\displaystyle e_{i}}$ à une similitude près a été démontrée par Nakayama[13].

Soit ${\displaystyle R}$ un anneau principal non nécessairement commutatif et ${\displaystyle M}$ un ${\displaystyle R}$-module à gauche de type fini. On a la décomposition

${\displaystyle M={\mathcal {T}}\left(M\right)\oplus F}$

où ${\displaystyle {\mathcal {T}}\left(M\right)}$ est le sous-module de torsion de ${\displaystyle M}$ (qui est bien défini car, ${\displaystyle R}$ étant Noethérien, c'est un anneau d'Ore) et où ${\displaystyle F}$ est un sous-module libre.

Traduisons en termes de module le résultat sur la forme normale de Jacobson-Teichmüller[14]: ${\displaystyle {\mathcal {T}}\left(M\right)}$ est une somme directe de sous-modules cycliques, i.e. il existe des éléments ${\displaystyle e_{i}\left(1\leq i\leq r\right)}$ tels que

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left(M\right)\cong \oplus _{1\leq i\leq r}R/Re_{i}}$

où ${\displaystyle e_{i}\parallel e_{i+1}}$, et les sous-modules cycliques ${\displaystyle R/Re_{i}}$ sont déterminés de manière unique à un isomorphisme près.

Voyons maintenant comment se généralise la théorie classique des diviseurs élémentaires[15]: soit ${\displaystyle T}$ un ${\displaystyle R}$-module de torsion à gauche de type fini. Alors

${\displaystyle T\cong R/Rq_{1}\oplus ...\oplus R/Rq_{k}\oplus R/Ru}$

où chaque ${\displaystyle q_{i}}$ est un produit d'atomes bornés semblables deux à deux et où ${\displaystyle u}$ est totalement non borné[16]. Si l'anneau ${\displaystyle R}$ est simple, la somme directe ci-dessus se réduit au dernier terme.

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