Approximation de Born

L'approximation de Born est utilisée dans bien des situations en physique.

Dans la diffusion de neutrons, l'approximation de Born au premier ordre est presque toujours adéquate, à l'exception de phénomènes d'optique neutronique comme la réflexion interne totale dans un guide à neutrons, ou de la diffusion à faible incidence et aux faibles angles.

On définit l'opérateur de la fonction de Green, où ${\displaystyle \epsilon }$ est une quantité infinitésimale:

${\displaystyle {\widehat {G}}_{\pm }\equiv {\widehat {G}}_{o}(E\pm i\epsilon )={\frac {1}{E-H_{o}\pm i\epsilon }}}$

${\displaystyle G_{\pm }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\equiv {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\langle \mathbf {r} |{\widehat {G}}_{\pm }|\mathbf {r} '\rangle =-{\frac {e^{\pm ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$

${\displaystyle G_{\pm }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\underset {|\mathbf {r} |\gg |\mathbf {r} '|}{\approx }}-{\frac {e^{\pm ik|\mathbf {r} |}e^{\mp ik\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {r} '}}{4\pi |\mathbf {r} |}}=-{\frac {e^{\pm ikr}e^{\mp i\mathbf {k} '\cdot \mathbf {r} '}}{4\pi r}}}$

Les démonstrations de ces relations se retrouvent dans l'ouvrage Modern Quantum Mechanics de J. J. Sakurai (en)[2] ainsi que dans l'ouvrage Mécanique quantique II de Claude Cohen-Tannoudji[3].

L'équation de Lippmann-Schwinger :

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\widehat {G}}_{\pm }V|\psi ^{(\pm )}\rangle }$

où ${\displaystyle |\phi \rangle }$ est solution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre. Nous prendrons la solution d'onde plane ${\displaystyle |\phi _{\mathbf {p} }\rangle =\hbar ^{-3/2}|\phi _{\mathbf {k} }\rangle }$ exprimée respectivement en fonction du momentum ${\displaystyle p}$ et du vecteur de propagation ${\displaystyle \mathbf {k} }$. Lorsqu'on exprime le tout dans la base de la position ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |}$, on a :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\langle \mathbf {r} |\psi ^{(\pm )}\rangle &=\langle \mathbf {r} |\phi _{\mathbf {p} }\rangle +\langle \mathbf {r} |{\widehat {G}}_{\pm }V|\psi ^{(\pm )}\rangle \\&=\langle \mathbf {r} |\phi _{\mathbf {p} }\rangle +\int d^{3}r'\langle \mathbf {r} |{\widehat {G}}_{\pm }|\mathbf {r} '\rangle \langle \mathbf {r} '|V|\psi ^{(\pm )}\rangle \end{alignedat}}}$

Dans le cas d'un potentiel de diffusion V local, où ${\displaystyle \langle \mathbf {r} '|V|\mathbf {r} ''\rangle =V(\mathbf {r} ')\delta ^{3}(\mathbf {r} '-\mathbf {r} '')}$ :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\langle \mathbf {r} |\psi ^{(\pm )}\rangle &=\langle \mathbf {r} |\phi _{\mathbf {p} }\rangle +\int d^{3}r'\langle \mathbf {r} |{\widehat {G}}_{\pm }|\mathbf {r} '\rangle V(\mathbf {r} ')\langle \mathbf {r} '|\psi ^{(\pm )}\rangle \\&\approx \langle \mathbf {r} |\phi _{\mathbf {p} }\rangle -{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4\pi }}{\frac {e^{\pm ikr}}{r}}\int d^{3}r'e^{\mp i\mathbf {k} '\cdot \mathbf {r} '}V(\mathbf {r} ')\langle \mathbf {r} '|\psi ^{(\pm )}\rangle \\&=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{3/2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{3/2}{\frac {e^{\pm ikr}}{r}}{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {(2\pi )^{3}}{4\pi }}\int d^{3}r'{\frac {e^{\mp i\mathbf {k} '\cdot \mathbf {r} '}}{\left(2\pi \right)^{3/2}}}V(\mathbf {r} ')\langle \mathbf {r} '|\psi ^{(\pm )}\rangle \\&=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{3/2}\{e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\frac {e^{\pm ikr}}{r}}{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {(2\pi )^{3}}{4\pi }}\langle \phi _{\mathbf {k} '}|V|\psi ^{(\pm )}\rangle \}\end{alignedat}}}$

Pour mieux interpréter les différents termes, on peut réécrire ainsi:

${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\psi ^{(\pm )}\rangle =\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{3/2}\{e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\frac {e^{\pm ikr}}{r}}f(\mathbf {k} ',\mathbf {k} )\}}$

Où ${\displaystyle f(\mathbf {k} ',\mathbf {k} )}$ est appelé « l'amplitude de diffusion ». Le premier terme représente toujours l'onde incidente dans la direction ${\displaystyle \mathbf {k} \equiv {\frac {\mathbf {p_{i}} }{\hbar }}}$ alors que la forme du deuxième terme s'interprète comme une onde sphérique sortante dans le cas ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\psi ^{(+)}\rangle }$ et entrante dans le cas ${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\psi ^{(-)}\rangle }$. À ce point, toutefois, ${\displaystyle f(\mathbf {k} ',\mathbf {k} )}$ est exprimé en termes de ${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle }$, potentiellement inconnu. On cherche donc à ré-exprimer celle-ci en termes connus, tels que ${\displaystyle |\phi _{\mathbf {k} }\rangle }$ et V, et c'est là tout l'intérêt de l'approximation de Born.

On multiplie l'équation de Lippman-Schwinger par le potentiel diffuseur V :

${\displaystyle V|\psi ^{(\pm )}\rangle =V|\phi _{\mathbf {k} }\rangle +V{\widehat {G}}_{\pm }V|\psi ^{(\pm )}\rangle }$

On remplace celle-ci dans l'équation de Lippman-Schwinger, on réitère au besoin, approximant finalement à l'ordre désiré en V :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}V|\psi ^{(\pm )}\rangle &=V|\phi _{\mathbf {k} }\rangle +V{\widehat {G}}_{\pm }V(|\phi _{\mathbf {k} }\rangle +{\widehat {G}}_{\pm }V|\psi ^{(\pm )}\rangle )\\&=\underbrace {\underbrace {V|\phi _{\mathbf {k} }\rangle } _{1^{er}ordre}+V{\widehat {G}}_{\pm }V|\phi _{\mathbf {k} }\rangle } _{2^{e}ordre}+V{\widehat {G}}_{\pm }V{\widehat {G}}_{\pm }V|\psi ^{(\pm )}\rangle \\&=\underbrace {V|\phi _{\mathbf {k} }\rangle +V{\widehat {G}}_{\pm }V|\phi _{\mathbf {k} }\rangle +V{\widehat {G}}_{\pm }V{\widehat {G}}_{\pm }V|\phi _{\mathbf {k} }\rangle } _{3^{e}ordre}+V{\widehat {G}}_{\pm }V{\widehat {G}}_{\pm }V{\widehat {G}}_{\pm }V|\psi ^{(\pm )}\rangle \end{alignedat}}}$

En remplaçant dans l'expression de ${\displaystyle f(\mathbf {k} ',\mathbf {k} )}$, on a donc une décomposition de celui-ci :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(\mathbf {k} ',\mathbf {k} )&=\sum _{i=1}^{\infty }f^{(i)}(\mathbf {k} ',\mathbf {k} )\\f^{(i)}(\mathbf {k} ',\mathbf {k} )&=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {(2\pi )^{3}}{4\pi }}\langle \phi _{\mathbf {k} '}|V({\widehat {G}}_{\pm }V)^{(i-1)}|\phi _{\mathbf {k} }\rangle \end{alignedat}}}$

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• (en) Jun John Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Reading (Mass.), Addison Wesley, 1994, 500 p. (ISBN 978-0-201-53929-5, BNF 39112504, présentation en ligne).
• (en) Ta-you Wu et Takashi Ohmura, Quantum Theory of Scattering, Prentice Hall, 1962 (présentation en ligne).
• (en) John Robert Taylor, Scattering Theory : The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, Wiley, 1972, 477 p. (ISBN 978-0-471-84900-1 et 9780471849001)
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu et Franck Laloë, Mécanique quantique II, Hermann, 1997