Approximation des champs faibles

Dans cette approximation, on suppose qu'on peut écrire la métrique de l'espace-temps (${\displaystyle g\ }$) sous la forme

où ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ }$ est la métrique de Minkowski, ${\displaystyle \gamma _{\mu \nu }\ }$ est la déviation (faible) par rapport à cette dernière et ${\displaystyle \epsilon \ }$ une constante réelle non nulle.

Une relation entre le potentiel de gravité newtonien ${\displaystyle \Phi \ }$ et le terme de déviation cité ci-dessus peut être obtenu en calculant les symboles de Christoffel ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{44}\ }$, en ignorant les termes d'ordre plus important que ${\displaystyle \epsilon \ }$ :

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{00}=-{\frac {\epsilon }{2}}g^{\mu \nu }\gamma _{00,\nu }\ }$

et on en déduit :

${\displaystyle \Gamma ^{0}{}_{00}=0\ }$

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{00}=-{\frac {\epsilon }{2}}\gamma _{00,i}\ }$ (${\displaystyle i=1,2,3}$)

L'équation de la géodésique devient :

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-\Gamma ^{i}{}_{00}={\frac {\epsilon }{2}}\gamma _{00,i}=-\nabla \Phi }$

où :

• ${\displaystyle \Phi }$ est le potentiel de gravitation newtonien ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide.

On a ainsi :

${\displaystyle \Phi =-{\frac {\epsilon }{2}}\gamma _{00}\ }$

Comme par ailleurs on sait que :

${\displaystyle \Phi =-{\frac {Gm}{r}}\ }$

où ${\displaystyle G\ }$ est la constante gravitationnelle, ${\displaystyle m\ }$ est la masse du corps attracteur et ${\displaystyle r\ }$ la distance radiale au centre de ce corps, on trouve que :

${\displaystyle g_{00}=-c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}\ }$

L'approximation des champs faibles est utile pour trouver les valeurs de certaines constantes, par exemple dans l'équation d'Einstein et la métrique de Schwarzschild.

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