Argument d'un nombre complexe

Étant donné un nombre complexe z non nul, un argument de z est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l’angle :

${\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})}$

où M est l'image de z dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe z.

De manière équivalente, un argument de z est un nombre réel ${\displaystyle \theta }$ tel que :

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\Re (z)}{|z|}}\quad {\text{et}}\quad \sin \theta ={\frac {\Im (z)}{|z|}}}$,

où ${\displaystyle \Re (z)}$, ${\displaystyle \Im (z)}$ et ${\displaystyle \left|z\right|}$ sont respectivement les parties réelle et imaginaire et le module de z.

Souvent, on note un argument du nombre complexe z de façon simplifiée par :

${\displaystyle \arg z=\theta }$

ou plus précisément :

${\displaystyle \arg z\equiv \theta {\bmod {2\pi }}}$.

Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase[1] ou de l'amplitude[2] d'un nombre complexe : ${\displaystyle \mathrm {ph} (z)}$.

• Si z n'est pas un imaginaire pur, ${\displaystyle \tan(\arg z)={\frac {\Im (z)}{\Re (z)}}={\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} \left(z+{\bar {z}}\right)}}}$, où ${\displaystyle {\bar {z}}}$ est le conjugué de z et donc :

  si ${\displaystyle \Re (z)>0}$, ${\displaystyle \arg z\equiv \arctan {\frac {\Im (z)}{\Re (z)}}\equiv \arctan {\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} \left(z+{\bar {z}}\right)}}{\bmod {2\pi }}}$.

• De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe z non nul peut être entièrement déterminé de la façon suivante :

  ${\displaystyle \arg z={\begin{cases}2\arctan {\frac {\Im (z)}{\Re (z)+\left|z\right|}}&{\text{si }}z\notin \mathbb {R} _{-}\\\pi &{\text{si }}z\in \mathbb {R} _{-}^{*}{\text{.}}\end{cases}}}$

Soient z, z₁ et z₂ des complexes non nuls. On a, ${\displaystyle {\bmod {2\pi }}}$ :

${\displaystyle \arg(z_{1}z_{2})\equiv \arg z_{1}+\arg z_{2}}$.

En particulier :

• pour tout réel a non nul : ${\displaystyle \arg(az)\equiv {\begin{cases}\arg z&{\text{si }}a>0\\(\arg z)+\pi &{\text{si }}a<0{\text{$ ;}}\end{cases}}}
• pour tout entier relatif n : ${\displaystyle \arg(z^{n})\equiv n\arg z}$.

Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives a, b, c et d, alors :

${\displaystyle ({\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {CD}})\equiv \arg {\frac {d-c}{b-a}}{\bmod {2\pi }}}$.

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