Bâtons de Napier

À titre d'exemple, on effectue le produit de 46 785 399 par 7. Pour cela, on forme le nombre 46 785 399 sur la partie supérieure du tableau. On lit ensuite sur la septième ligne le résultat de la multiplication de chaque chiffre par 7. La disposition obtenue est telle que le résultat se lit directement en additionnant les chiffres qui apparaissent dans les bandes diagonales, de droite à gauche et avec retenues si nécessaire.

Sur l'exemple on obtient successivement les unités (3), dizaines (6+3=9), centaines (6+1=7), etc.

On multiplie cette fois 46 785 399 par 96 431. On trouve facilement par le procédé précédent les produits partiels par 9, 6, 4, 3 et 1. Il reste simplement à les placer de façon adéquate et à les sommer.

Le fait de disposer d'un algorithme de calcul des produits facilite également la division. On suit la disposition de l'algorithme traditionnel de calcul de la division. Parallèlement, on forme sur la première ligne du plateau la suite des chiffres du diviseur, ce qui permet de lire très rapidement le produit du diviseur par les chiffres de 1 à 9. Il suffit de choisir parmi eux celui qui est immédiatement inférieur au dividende. On calcule alors le reste par soustraction, et on poursuit l'algorithme.

Bien entendu, cette technique s'applique aussi bien pour déterminer le résultat d'une division entière avec reste, que d'une division à virgule.

L'extraction de racine carrée peut être obtenue de la manière suivante. En ajoutant une baguette spécifique (en jaune sur les figures ci-dessous), il est possible de calculer rapidement des racines carrées. Cette baguette jaune contient les carrés des nombres de 1 à 9.

Soit à calculer la racine carrée de 46 785 399. La méthode utilise fortement les puissances du nombre cent comme il sera expliqué par la suite. Elle s'applique à un nombre ayant un nombre pair de chiffres avant la virgule (au besoin on peut rajouter un zéro avant). Sur l'exemple donné, les étapes sont les suivantes.

• Détermination du premier chiffre de la racine carrée
  • isoler les deux premiers chiffres du nombre initial (46, marqués en rouge)
  • chercher le chiffre dont le carré précède immédiatement 46 : ici le chiffre 6 ; il constitue le premier chiffre du résultat
  • soustraire le carré de 6 à 46 : reste 10, et abaisser deux chiffres suivants du nombre initial. On obtient 1078, nombre avec lequel l'algorithme se poursuit.
• Détermination du second chiffre de la racine carrée
  • doubler le premier chiffre de la racine (6 x 2 donne 12), le former sur la première ligne du plateau, et ajouter la baguette jaune à la suite
  • parmi tous les nombres qui apparaissent en ligne chercher celui qui précède immédiatement 1078 : ici c'est 1024 dans la ligne 8
  • le deuxième chiffre de la racine carrée est donc 8, on forme 1078 - 1024 = 54 et on abaisse deux nouveaux chiffres, l'algorithme se poursuivra avec 5453.

• Détermination du troisième chiffre de la racine carrée
  • doubler le second chiffre de la racine (8 x 2 donne 16), le rajouter au nombre déjà formé multiplié par 10 (12 x 10 + 16 = 136), et ajouter la baguette jaune à la suite
  • parmi tous les nombres apparaissant en ligne celui qui précède immédiatement 5453 est 4089, en ligne 3
  • le troisième chiffre de la racine carrée est donc 3, on forme 5453 - 4089 = 1364 et on poursuit en abaissant deux chiffres
• ensuite l'algorithme se poursuit : le chiffre suivant est un 9. On peut poursuivre indéfiniment après la virgule, en abaissant des "00" à chaque étape. Mais il faut placer une virgule dans le résultat au moment où on utilise des chiffres après la virgule dans le nombre initial.

L'idée sous-jacente à l'algorithme est l'utilisation des puissances de 100. Concrètement, cela revient à grouper les chiffres deux par deux, de part et d'autre de la virgule, selon le schéma suivant (en ajoutant, au besoin, un zéro avant le premier chiffre)

... xx xx xx xx , xx xx xx ...

Ce qui revient par exemple à écrire

${\displaystyle 46\,785\,399=46\times 100^{3}+78\times 100^{2}+53\times 100^{1}+99\times 100^{0}}$

La première étape consiste à casser le premier terme en un carré parfait plus un terme résiduel qui va s'ajouter avec le second terme

${\displaystyle 46\,785\,399=(6\times 10^{3})^{2}+1078\times 100^{2}+53\times 100^{1}+99\times 100^{0}}$

À l'issue de la seconde étape on désire aboutir à un résultat de la forme

${\displaystyle 46\,785\,399=(6\times 10^{3}+a\times 10^{2})^{2}+R\times 100^{1}+99\times 100^{0}}$

où a est un chiffre de 0 à 9 et R le plus petit possible. En développant et en refactorisant, on peut mettre cela sous la forme

${\displaystyle 46\,785\,399=(6\times 10^{3})^{2}+\left(2\times 6\times 10+a\right)\times a\times (10^{2})^{2}+R\times 100^{1}+99\times 100^{0}}$

Justement, le procédé décrit ci-dessus est celui qui permet de trouver a convenable, le plus grand possible, comme le montrent les calculs gravés sur la planche 1. Il n'y a plus qu'à calculer R et à poursuivre.

• (en) Un abaque en ligne en java fonctionnant dans différentes bases, sur Cut The Knot
• Les bâtons à multiplier, sur culture math
• (it) Simulateur interactif de Bones de Napier

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