Base canonique

Soit K un corps commutatif et n un entier naturel.

La base canonique de Kⁿ se compose des vecteurs ${\displaystyle e_{i}\,}$ (i variant de 1 à n) définis ainsi :

Pour i variant de 1 à n

${\displaystyle e_{i}=(\delta _{1,i},\delta _{2,i},\cdots ,\delta _{n,i})}$.

Où ${\displaystyle \delta _{ij}\,}$ désigne le symbole de Kronecker :

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1_{K}&{\text{si }}i=j\\0_{K}&{\text{si }}i\neq j\end{cases}}}$

Où le 0 désigne le neutre de la première loi et le 1 celui de la seconde.

Il est important de se rappeler qu'une base a autant de vecteurs que la dimension de l'espace vectoriel.

La base canonique du plan vectoriel ℝ² est constituée des deux vecteurs :

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}$

La base canonique de l'espace ℝ³ à trois dimensions se compose des trois vecteurs :

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$

Le produit scalaire canonique est celui pour lequel la base canonique est orthonormée. L'orientation canonique est celle pour laquelle cette base est directe.

Dans l'anneau des polynômes sur un corps K, vu comme espace vectoriel sur K, la base canonique est la famille des monômes ${\displaystyle (X^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$.

Cette base est infinie. Comme pour toute base d'un espace vectoriel, tout vecteur (donc ici tout polynôme) s'écrit comme une combinaison linéaire faisant intervenir un nombre fini d'éléments de la base.

Dans l'espace des matrices à n lignes et p colonnes, la base canonique est l'ensemble des unités matricielles (en)[1] : ce sont les matrices ${\displaystyle E_{i,j}}$ qui présentent un 1 à l'intersection de la i^e ligne avec la j^e colonne, et des 0 partout ailleurs.

Pour toute matrice ${\displaystyle M=(a_{i,j})}$, ses coordonnées dans la base canonique sont les coefficients.

${\displaystyle M=\sum _{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq p}a_{i,j}E_{i,j}}$