Binôme (mathématique)

${\displaystyle a+b~,\qquad 3\tan ^{2}\phi -{\frac {b^{2}}{e^{i\pi \theta }}}~,\qquad \ldots }$

Factorisation

Le binôme ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ peut être factorisé comme un produit de deux autres binômes :

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$.

C'est un cas particulier de la formule : ${\displaystyle a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}}$.

Produit d'une paire de binômes linéaires

Le produit d'une paire de binômes linéaires ${\displaystyle ax+b}$ et ${\displaystyle cx+d}$ est un trinôme (en) :

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+axd+bcx+bd=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}$.

Puissance d'un binôme

Un binôme élevé à la puissance n, représenté par

${\displaystyle (a+b)^{n}}$,

peut être développé à l'aide de la formule du binôme de Newton ou, de façon équivalente, à l'aide du triangle de Pascal. Par exemple, le carré ${\displaystyle (p+q)^{2}}$ peut être développé en mettant au carré le premier terme, en ajoutant le double du produit des deux termes et en ajoutant le carré du deuxième terme, ce qui donne ${\displaystyle p^{2}+2pq+q^{2}}$.

Une application simple de la formule du binôme est la formule qui génère les triplets pythagoriciens : si ${\displaystyle x=p^{2}-q^{2},\quad y=2pq\quad {\text{et}}\quad z=p^{2}+q^{2}}$, alors ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$.