Bistabilité

La bistabilité (du latin bi = deux et du latin stabilis = constant, stable ) est la propriété de certains systèmes de pouvoir prendre deux états stables possibles et de passer d'un état à l'autre par une impulsion extérieure. Ces systèmes sont alors appelés « systèmes bistables ». Il est important de noter que ces états peuvent être supposés pour une seule et même valeur de paramètre , contrairement à l' ultra sensibilité , par exemple , où une transition nette est provoquée par la modification des valeurs de paramètre.

Les deux états 1 et 3 sont stables, l'état de transition 2 est instable.

En électronique, bistable se dit d'un signal ayant deux états logiques stables: 0 et 1. Le passage d'un état à un autre ne peut s'opérer qu'à la suite d'une action extérieure.le signale possède 2 états stable.

Description mathématique

La bifurcation de la fourchette montre, de gauche à droite, le passage d'un système stable à un système bistable. Courbes noires épaisses : état stable ; pointillés rouges : état instable.

Le comportement bistable est principalement provoqué par une rétroaction positive. Chacun des états se stabilise.

Si le comportement d'un système peut être décrit par des équations différentielles , alors la bi stabilité peut déjà se produire dans les systèmes unidimensionnels, c'est-à-dire qu'une variable indépendante suffit , tandis que des systèmes bidimensionnels sont nécessaires pour les oscillations . Cependant, les équations différentielles doivent être non linéaires. Dans les systèmes linéaires, seuls trois cas sont possibles : il y a exactement un état stationnaire, aucun état stationnaire du tout, ou un continuum de tels états. Dans le cas de la bistabilité, cependant, deux états distincts doivent se produire. La bifurcation de la fourche montre la transition d'un système stable à un système bistable de gauche à droite. Courbes noires épaisses : états stables ; pointillés rouges : état instable (instable). La transition entre un système stable et un système bistable peut être représentée à l'aide du diagramme de bifurcation de la fourche illustré à droite.

Modélisation mathématique

Dans le langage mathématique de la analyse des systèmes dynamiques, l'un des systèmes bistables les plus simples est.

{\frac {dy}{dt}}=y(1-y^{2}).

Ce système décrit une balle qui roule sur une courbe de forme ${\frac {y^{4}}{4}}.-{\frac {y^{2}}{2}}$ , et possède trois points d'équilibre : $y=1$ , $y=0$ , et $y=-1$ . Le point central $y=0$ est instable, tandis que les deux autres points sont stables. Le sens de variation de $y(t)$ au cours du temps dépend de la condition initiale $y(0)$ . Si la condition initiale est positive ( $y(0)>0$ ), alors la solution $y(t)$ s'approche de 1 au cours du temps, mais si la condition initiale est négative ( $y(0)<0$ ), alors $y(t)$ s'approche de -1 au cours du temps. Ainsi, la dynamique est " bistable ". L'état final du système peut être soit $y=1$ , soit $y=-1$ , selon les conditions initiales. [1]

L'apparition d'une région bistable peut être comprise pour le système modèle. ${\frac {dy}{dt}}=y(r-y^{2})$ qui subit une bifurcation en fourche supercritique avec le paramètre de bifurcation $r$ .

Exemples de différents domaines

Un exemple de la vie courante est un interrupteur d'éclairage avec un contact à action brusque : tant qu'on ne le touche pas, il reste dans une position ( marche ou arrêt ). Lorsqu'il est relâché, il revient soit à l'ancienne position, soit à la nouvelle position.

D'autres exemples issus du domaine de la technologie sont la bascule en électronique ou les ressorts bistables en mécanique . Même les systèmes complexes, tels que les États démocratiques avec deux grands partis qui remportent à tour de rôle la majorité au parlement, peuvent être bistables, au moins temporairement.

Bibliographie

(de)* W. Ebeling, R. Feistel, Physik der Selbstorganisation und Evolution. Akademie-Verlag, Berlin 1982.

Articles connexes

Notes et références

Ket Hing Chong, Sandhya Samarasinghe, Don Kulasiri et Jie Zheng, « Computational techniques in mathematical modelling of biological switches », Modsim2015,‎ 2015, p. 578-584 Pour des techniques détaillées de modélisation mathématique de la bistabilité, voir le tutoriel de Chong et al. (2015) http://www.mssanz.org.au/modsim2015/C2/chong.pdf Le tutoriel fournit un exemple simple d'illustration de la bistabilité à l'aide d'un interrupteur à bascule synthétique proposé dans James J. Collins, Timothy S. Gardner et Charles R. Cantor, « Construction of a genetic toggle switch in Escherichia coli », Nature, vol. 403, n^o 6767,‎ 2000, p. 339-42 (PMID 10659857, DOI 10.1038/35002131, Bibcode 2000Natur.403..339G, S2CID 345059). Le didacticiel utilise également le logiciel de système dynamique XPPAUT http://www.math.pitt.edu/~bard/xpp/xpp.html pour montrer de manière pratique comment voir la bistabilité capturée par un diagramme de bifurcation à nœuds en selle et les comportements d'hystérésis lorsque le paramètre de bifurcation est augmenté ou diminué lentement sur les points de basculement et qu'une protéine est activée ou désactivée.

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[Chong-1] Ket Hing Chong, Sandhya Samarasinghe, Don Kulasiri et Jie Zheng, « Computational techniques in mathematical modelling of biological switches », Modsim2015,‎ 2015, p. 578-584 Pour des techniques détaillées de modélisation mathématique de la bistabilité, voir le tutoriel de Chong et al. (2015) http://www.mssanz.org.au/modsim2015/C2/chong.pdf Le tutoriel fournit un exemple simple d'illustration de la bistabilité à l'aide d'un interrupteur à bascule synthétique proposé dans James J. Collins, Timothy S. Gardner et Charles R. Cantor, « Construction of a genetic toggle switch in Escherichia coli », Nature, vol. 403, n^o 6767,‎ 2000, p. 339-42 (PMID 10659857, DOI 10.1038/35002131, Bibcode 2000Natur.403..339G, S2CID 345059). Le didacticiel utilise également le logiciel de système dynamique XPPAUT http://www.math.pitt.edu/~bard/xpp/xpp.html pour montrer de manière pratique comment voir la bistabilité capturée par un diagramme de bifurcation à nœuds en selle et les comportements d'hystérésis lorsque le paramètre de bifurcation est augmenté ou diminué lentement sur les points de basculement et qu'une protéine est activée ou désactivée.