Carré magique d'inverses de nombres premiers

Un carré magique d'inverses de nombres premiers est un carré magique qui peut être obtenu en écrivant sur lignes successives le développement décimal des divisions de , ... . Le plus petit nombre à avoir cette propriété est le 19.

Explication

En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois : 0,3333… Néanmoins, la période répétitive du développement décimal de 1/7 est de six chiffres = 0,142857142857142857… De façon fortuite, les multiples de 1/7 sont des permutations cycliques de ces six chiffres :

1/7 = 0, 1 4 2 8 5 7…
2/7 = 0, 2 8 5 7 1 4…
3/7 = 0, 4 2 8 5 7 1…
4/7 = 0, 5 7 1 4 2 8…
5/7 = 0, 7 1 4 2 8 5…
6/7 = 0, 8 5 7 1 4 2…

Si ces chiffres sont disposés dans un carré, chaque ligne et chaque colonne donneront la même somme, en l'occurrence 1+4+2+8+5+7=27. Les diagonales ne donnant cependant pas 27, il ne s'agit pas d'un carré magique.

1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2

Tous les autres inverses de nombres premiers en base 10 avec une période maximum p-1 produisent des carrés dans lesquels toutes les lignes et les colonnes ont une somme identique, mais seuls quelques uns constituent des carrés magiques.

Carré magique d'inverses de 19

Dans le carré produit à partir de 1/19, avec la période maximale de 18 et les sommes lignes-colonnes égales à 81, les deux diagonales ont aussi pour somme 81, et ce carré est par conséquent pleinement magique :

01/19 = 0, 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1
02/19 = 0, 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2…
03/19 = 0, 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3…
04/19 = 0, 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4…
05/19 = 0, 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5…
06/19 = 0, 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6…
07/19 = 0, 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7…
08/19 = 0, 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8…
09/19 = 0, 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9…
10/19 = 0, 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0…
11/19 = 0, 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1…
12/19 = 0, 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2…
13/19 = 0, 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3…
14/19 = 0, 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4…
15/19 = 0, 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5…
16/19 = 0, 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6…
17/19 = 0, 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7…
18/19 = 0, 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8

Liste des premiers nombres donnant un carré magique d'inverses

Les carrés magiques d'inverses peuvent être obtenus en base 10 ou dans d'autres bases. La table suivante liste certains d'entre eux, donnant le nombre premier, la base, et le total magique (dérivé à partir de la formule : base-1 x nombre premier-1 / 2) :

Nombre premier Base Total
191081
5312286
5334858
59229
67233
83241
8919792
167685 561
199413 960
19915014 751
2112105
2233222
29314721 316
3075612
383101 719
38936069 646
3975792
42133870 770
48761 215
503420105 169
587368107 531
5933592
6318727 090
677407137 228
757759286 524
787134 716
8113810
9771 222595 848
1 033115 160
1 18713579 462
1 30752 612
1 499117 490
1 8771916 884
1 933146140 070
2 0112625 125
2 02721 013
2 1416366 340
2 53921 269
3 18797152 928
3 3731116 860
3 659126228 625
3 9473567 082
4 26122 130
4 81322 406
5 64775208 902
6 11336 112
6 27723 138
7 28323 641
8 38724 193

Voir aussi

Lien externe

G. Villemin, « Carrés magiques avec les décimales de l'inverse des nombres premiers »

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime reciprocal magic square » (voir la liste des auteurs).
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