Procédé en cascade

Une unité élémentaire à l'étage i réalise la séparation d'une masse en entrée ${\displaystyle E_{i}}$ en entrée, de teneur ${\displaystyle x_{ei}}$, en une masse produit ${\displaystyle P_{i}}$ de produit de sortie de teneur ${\displaystyle x_{pi}}$, et un résidu de masse ${\displaystyle R_{i}}$ ayant ${\displaystyle x_{ri}}$ comme teneur[1]. Dans une cascade idéale, le point de fonctionnement de cette unité élémentaire doit être choisi au voisinage de son point de fonctionnement optimal, si bien que toutes les unités doivent fonctionner avec des valeurs sensiblement identiques. Ceci impose que le nombre d'unités varie d'un étage à l'autre ; dans le cas contraire d'une cascade carrée (par exemple, une colonne de distillation) le travail varie d'un étage à l'autre.

Le travail de séparation ${\displaystyle W_{\mathrm {UTS} }}$ correspondant à cette opération élémentaire est exprimé par :

${\displaystyle W_{\mathrm {UTS} }=P\cdot V\left(x_{p}\right)+R\cdot V(x_{r})-E\cdot V(x_{e})}$

Avec :

${\displaystyle V(x)=(1-2x)\cdot \ln \left({\frac {1-x}{x}}\right)}$.

Le facteur de séparation associé à cet étage est la variation relative des richesses de concentration du produit à concentrer, entre l'entrée et la sortie :

${\displaystyle \alpha ={\frac {x_{pi}/(1-x_{pi})}{x_{ei}/(1-x_{ei})}}}$

On peut montrer que le facteur de séparation ainsi défini ne dépend pas des concentrations, et qu'il est une propriété caractéristique du procédé. En revanche, il peut dépendre fortement du débit d'entrée et du fractionnement P/E.

Exemple de mise en cascade.

Dans une cascade d'enrichissement, chaque étage est alimenté par le produit de l'étage inférieur. De proche en proche, le flux produit devient donc de plus en plus concentré.

Le flux rejeté par un étage élémentaire doit généralement être recyclé, d'une part pour ne pas dilapider la matière correspondante, d'autre part pour ne pas perdre le travail de séparation que représente leur concentration partielle. Le montage le plus simple est celui d'une cascade symétrique, où le résidu ${\displaystyle R_{i}}$ de chaque étage est mélangé au flux entrant ${\displaystyle P_{i-1}}$ de l'étage inférieur. Pour que ce mélange se fasse sans perte de travail de séparation, il faut que les concentrations ${\displaystyle x_{ri}}$ et ${\displaystyle x_{ei-1}}$ soient égales. Dans ce cas, on montre également que le coefficient de partage doit être égal à 1/2. D'autres montages sont possibles si le rapport entre ${\displaystyle x_{ri}}$ et ${\displaystyle x_{ri-1}}$ s'éloigne trop de l'unité : si par exemple l'étage élémentaire est optimisé de telle manière que ${\displaystyle x_{ri}}$ est de l'ordre de grandeur de ${\displaystyle x_{ei-2}}$, un montage asymétrique transférera le flux appauvri deux étages plus bas dans la cascade. Les montages correspondants sont évidemment plus complexes, mais ne changent pas le principe de fonctionnement d'une cascade.

En général, l'enrichissement obtenu par un étage élémentaire est relativement faible :

${\displaystyle x_{pi}=x_{ei}\cdot (1+\epsilon _{i})}$ avec ${\displaystyle \epsilon _{i}<<1}$

Dans ce cas, le facteur de séparation α d'un étage (caractéristique du procédé, et ne dépendant que du débit et du coefficient de partage, mais non des concentrations) peut s'exprimer en fonction de ce gain élémentaire :

${\displaystyle \alpha ={\frac {(1+\epsilon _{i})\cdot (1-x_{ei})}{(1-x_{ei}+\epsilon _{i}\cdot x_{ei})}}}$ ou encore ${\displaystyle \epsilon _{i}=(\alpha -1)\cdot (1-x_{ei}\cdot (1+\epsilon _{i}))}$

Sous cette dernière forme, on voit que le rapport des teneurs entre entrée et sortie d'un étage est sensiblement constant tant que ces teneurs restent petites, et est égal au facteur de séparation de l'étage élémentaire. Inversement, lorsque ces concentrations deviennent significatives, le gain sur les teneurs devient progressivement plus faible, et tend évidemment à s'annuler quand la teneur s'approche de 100 %.

Le fonctionnement des unités élémentaires étant supposé identique d'un étage à l'autre, on voit que le coût d'enrichissement est d'autant plus élevé que la concentration du produit est forte ; c'est-à-dire inversement que dans une cascade même idéale, à quantité de travail égale, le gain en concentration devient progressivement d'autant plus faible que la concentration est forte. C'est le passage à la limite de cette équation, avec ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ tendant vers zéro pour des étages « infiniment minces », qui conduit à l'équation différentielle de l'unité de travail de séparation, proposée par Paul Dirac dans les années 1940.

L'approximation α=cte peut néanmoins servir pour déterminer approximativement le nombre d'étages n nécessaires pour obtenir l'enrichissement Q, qui sera au minimum :

${\displaystyle n={\frac {\ln(Q)}{\ln(\alpha )}}}$

Par exemple, pour enrichir de l'uranium naturel à 0,71 % jusqu'à une teneur de 3,5 % par un procédé dont le facteur de séparation est de 1,0833, il sera nécessaire d'enchaîner au moins Log(4,93)/Log(1,0833)= 20 étages d'enrichissement au moins.

La répartition entre les flux de sortie se calcule simplement en fonction des concentrations en écrivant que le flux total de matière et le flux de composé sont simultanément conservés :

${\displaystyle E=P+R\qquad {\text{et}}\qquad E\cdot x_{e}=P\cdot x_{p}+R\cdot x_{r}}$

d'où l'on déduit facilement que le rapport entre masse de produit et masse d'entrée (le coefficient de partage θ) est donné par l'expression :

${\displaystyle \theta ={\frac {P}{E}}={\frac {x_{e}-x_{r}}{x_{p}-x_{r}}}}$

Cette expression traduit le fait (intuitivement évident) que plus on épuise le mélange traité, moins on a besoin d'en fournir en entrée pour obtenir une quantité enrichie donnée ; ou inversement, plus le déchet contient encore de l'isotope recherché non séparé, et plus l'alimentation du processus doit être importante, pour en sortie obtenir la production désirée. Autrement dit, si les teneurs d'alimentation x_e et de production x_p sont imposées, pour une production donnée, le flux d'alimentation nécessaire diminue avec x_r.

De ce fait, un procédé en cascade ne se limite pas à une section d'enrichissement, mais comporte également une section d'épuisement. L'importance de cette section d'épuisement est déterminée par des considérations économiques : ce que l'on gagne en matière première économisée se traduit par un coût d'investissement en unités d'enrichissement, et un coût de production des unités de travail de séparation. De cet arbitrage on peut déduire la concentration x_r optimale, celle où le gain marginal d'un étage d'épuisement supplémentaire est équilibré par le produit qu'elle permet d'économiser.

• Daniel Massignon, « Enrichissement de l'uranium », Éditions techniques de l'ingénieur, traité Génie nucléaire