Cercles d'Apollonius

Il y a plusieurs candidats répondant au nom de cercle d'Apollonius.

Cercle d'Apollonius de deux points

Apollonius de Perga propose de définir le cercle comme l'ensemble des points M du plan pour lesquels le rapport des distances MA/MB reste constant, les points A et B étant donnés.

Théorème — Si A et B sont deux points distincts et k est un réel autre que 0 et 1, le cercle d'Apollonius du triplet (A,B,k) est l'ensemble des points M du plan tels que

Démonstration —

  • Solution sur (AB) : si k=1, MA=k MB a une unique solution sur (AB) : le milieu de [AB]. Sinon le problème d'Apollonius MA = k MB a deux solutions sur (AB), disons C et son conjugué harmonique D par rapport à A et B ; D existe dès que C n'est pas le milieu de [AB].
  • Solution hors de (AB) : Si MA/MB = k, alors MA/MB = CA/CB ; (MC) est alors la bissectrice de l'angle en M dans le triangle AMB. Mais on a aussi MA/MB = DA/DB et (MD) est la seconde bissectrice de l'angle en M dans AMB. En particulier le triangle CMD est rectangle en M et M est donc sur le cercle de diamètre [CD].
  • Synthèse : Pour tout M du plan hors de (AB) les droites (MA), (MB), (MC) et (MD) forment un faisceau harmonique. Si de plus M est sur le cercle de diamètre [CD], on sait alors que (MC) et (MD) sont les bissectrices de ∠AMB. On conclut avec la caractérisation de la bissectrice en termes de rapport
  • Le cercle de diamètre [CD] est le cercle d'Apollonius pour le triplet (A,B,k).

Faisceau de cercles d'Apollonius d'un triangle

Soit ABC un triangle. Le cercle c de centre O est circonscrit au triangle ABC.

Les bissectrices en A coupent [BC] en I1 et J1, le cercle c1 de centre O1 a pour diamètre [I1J1].

Les bissectrices en B coupent [AC] en I2 et J2, le cercle c2 de centre O2 a pour diamètre [I2J2].

Les bissectrices en C coupent [AB] en I3 et J3, le cercle c3 de centre O3 a pour diamètre [I3J3].

Le faisceau de cercles d'Apollonius est formé par les trois cercles c1, c2 et c3 d'Apollonius qui ont en commun les deux points P et Q. Ce sont les points de base du faisceau.

Leurs centres O1, O2 et O3 sont alignés sur la médiatrice de [PQ].

Le centre O du cercle circonscrit c et le point de Lemoine du triangle ABC sont situés sur la droite (PQ).

Les points Q (X15) et P (X16) sont les points isodynamiques du triangle ABC. Ce sont les conjugués isogonaux des points de Fermat (X14 et X13)

Fractale

Voir : Cercle d'Apollonius

Bibliographie
  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, (ISBN 978-2-91-635208-4)
  • Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
  • Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, (ISBN 978-2-916352-12-1)
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