Classe de Selberg

En mathématiques , la classe de Selberg est une définition axiomatique d'une classe de fonctions L. Les éléments de la classe sont des séries de Dirichlet qui obéissent à quatre axiomes ayant pour objectif d'énoncer les propriétés fondamentales satisfaites par la plupart des fonctions communément appelées fonctions L ou fonctions zêta. Bien que la nature exacte de la classe soit encore à l'état de conjecture, on espère que sa définition conduira à une classification de son contenu et à une élucidation de ses propriétés, y compris une idée plus claire de leurs liens avec les formes automorphes et avec l'hypothèse de Riemann. La classe a été introduite par Atle Selberg dans (Selberg 1992)[1], qui a préféré ne pas utiliser le terme "axiome" utilisé ultérieurement par d'autres auteurs.

Définition

La définition formelle de la classe S est l’ensemble de toutes les séries de Dirichlet

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

absolument convergentes pour Re ( s ) > 1 qui satisfont quatre axiomes (ou hypothèses telles que les nomme Selberg):

analyticité: $F(s)$ se prolonge en une fonction méromorphe dans tout le plan complexe, avec un unique pôle (s'il existe) quand s vaut 1;
conjecture de Ramanujan: $a_{1}=1$ et $a_{n}\ll _{\epsilon }n^{\epsilon }$ pour tout $\epsilon >0$ ;
équation fonctionnelle: il existe un facteur $\gamma$ de la forme

\gamma (s)=Q^{s}\prod _{i=1}^{k}\Gamma (\omega _{i}s+\mu _{i})

où Q est réel et positif,

\Gamma

est la fonction gamma, les

\omega _{i}

sont réels et positifs et les

\mu _{i}

sont des nombres complexes de partie réelle positive, et il existe également une racine de l'unité

\alpha \in \mathbb {C} ,|\alpha |=1

tel que la fonction

\Phi (s)=\gamma (s)F(s)

satisfasse

\Phi (s)=\alpha {\overline {\Phi (1-{\overline {s}}))}};

produit eulérien: pour Re(s) > 1, F(s) peut s'écrire comme le produit portant sur tous les nombres premiers:

F(s)=\prod _{p}F_{p}(s)

avec

F_{p}(s)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{p^{n}}}{p^{ns}}}

et pour

\theta <{\frac {1}{2}}

,

b_{p^{n}}=O(p^{n\theta }).

Commentaires sur la définition

La condition que la partie réelle de μ _i soit positive est qu'il existe des fonctions L qui ne satisfont pas l'hypothèse de Riemann lorsque μ _i est négatif. Plus précisément, il existe des formes de Maass associées à des valeurs propres exceptionnelles, pour lesquelles la conjecture de Ramanujan-Peterssen est vérifiée , et ont une équation fonctionnelle, mais ne vérifient pas l'hypothèse de Riemann.

La condition que θ < 1/2 est importante, car le cas θ = 1/2 inclut la fonction eta de Dirichlet, qui viole l'hypothèse de Riemann[2].

C’est une conséquence de 4. que les a _n sont multiplicatifs et que

F_{p}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{p^{n}}}{p^{ns}}}{\text{ for Re}}(s)>0.

Exemples

L'exemple prototypique d'un élément en S est la fonction zêta de Riemann[3]. Un autre exemple est la fonction L du discriminant modulaire Δ

L(s,\Delta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

où $a_{n}=\tau (n)/n^{11/2}{\text{ et }}\tau (n)$ est la fonction tau de Ramanujan[3] .

Tous les exemples connus sont des fonctions L automorphes et les inverses de F _p ( s ) sont des polynômes en p ^{- s} de degré lié[4].

Les meilleurs résultats sur la structure de la classe de Selberg sont dus à Kaczorowski et Perelli, qui montrent que les fonctions L de Dirichlet (y compris la fonction zêta de Riemann) sont les seuls exemples avec un degré inférieur à 2[5].

Propriétés de base

Comme avec la fonction zêta de Riemann, un élément F de S a des zéros triviaux issus des pôles du facteur gamma γ ( s ). Les autres zéros sont appelés zéros non triviaux de F. Ceux-ci seront tous situés dans une bande 1 − A ≤ Re(s) ≤ A. En indiquant le nombre de zéros non triviaux de F avec 0 ≤ Im(s) ≤ T par N _F ( T )[6], Selberg a montré que

N_{F}(T)d_{F}{\frac {T\log(T+C)}{2\pi }}+O(\log T)

Ici, d _F est appelé le degré (ou dimension ) de F. Il est donné par [7]

d_{F}=2\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}

On peut montrer que F = 1 est la seule fonction en S dont le degré est inférieur à 1.

Si F et G appartiennent à la classe de Selberg, leurs produits aussi et

d_{FG}=d_{F}+d_{G}.

Une fonction F ≠ 1 en S est appelée primitive si chaque fois qu'elle est écrite en tant que F = F ₁ F ₂ , avec F _i dans S , puis F = F ₁ ou F = F ₂ . Si d _F = 1, alors F est une primitive. Toute fonction F ≠ 1 de S peut être écrite comme un produit de fonctions primitives. Les conjectures de Selberg, décrites ci-dessous, impliquent que la factorisation en fonctions primitives est unique.

Des exemples de fonctions primitives incluent la fonction zêta de Riemann et les fonctions L de Dirichlet des caractères de Dirichlet primitifs. En supposant les conjectures 1 et 2 ci-dessous, les fonctions L de représentations automorphes cuspidiennes irréductibles qui satisfont la conjecture de Ramanujan sont primitives[8].

Les conjectures de Selberg

Dans (Selberg 1992), Selberg a formulé des conjectures concernant les fonctions de S :

Conjecture 1: pour tout F dans S , il existe un entier n _F tel que

\sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=n_{F}\log \log x+O(1)

et où

n_{F}=1

quand F est primitive.

Conjecture 2: Pour des primitives distinctes F , F ′ ∈ S ,

\sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}a_{p'}}{p}}=O(1)

Conjecture 3: Si F appartient à S avec une factorisation primitive

F=\prod _{i=1}^{m}F_{i},

si χ est un caractère de Dirichlet primitif, et si la fonction

F^{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}

est également dans S, alors les fonctions F _i ^χ sont des éléments primitifs de S (et, par conséquent, ils forment la factorisation primitive de F ^χ).

Hypothèse de Riemann pour S: pour tout F dans S, les zéros non triviaux de F se trouvent tous sur la droite Re (s) = 1/2.

Conséquences des conjectures

Les conjectures 1 et 2 impliquent que si F a un pôle d'ordre m en s = 1, alors F(s)/ζ(s)^m est entier. En particulier, elles impliquent la conjecture de Dedekind[9].

M. Ram Murty a montré dans (Murty 1994) que les conjectures 1 et 2 impliquent la conjecture d'Artin. En fait, Murty a montré que les fonctions d’ Artin L correspondant aux représentations irréductibles du groupe de Galois d’une extension des rationnels résoluble sont automorphes, comme le prédisent les conjectures de Langlands[10].

Les fonctions S satisfont aussi un analogue du théorème des nombres premiers : F(s) n'a pas de zéros sur la droite Re(s) = 1. Comme mentionné ci-dessus, les conjectures 1 et 2 impliquent la factorisation unique des fonctions de S en fonctions primitives. Une autre conséquence est que la primitivité de F est équivalente à n _F = 1[11].

Voir également

Liste de fonctions zêta

Remarques

Le titre de l'article de Selberg est une sorte de plaisanterie vis-à-vis de Paul Erdős, qui écrit de nombreux articles dont les titres ressemblent à "(Certains) problèmes anciens et nouveaux et résultats concernant ...". En effet, la conférence d'Amalfi de 1989 était assez surprenante dans la mesure où Selberg et Erdős étaient présents, l'histoire racontant que Selberg ne savait pas que Erdős devait y assister.
Conrey et Ghosh 1993, §1
Murty 2008
Murty 1994
(en) Jerzy Kaczorowski et Alberto Perelli, « On the structure of the Selberg class, VII. », Annals of Mathematics, n^o 173,‎ 2011, p. 1397–1411 (DOI 10.4007/annals.2011.173.3.4, lire en ligne [PDF])
Les zéros sur la limite sont comptés avec une demi-multiplicité.
Bien que les ω _i ne soient pas définis de manière unique par F , le résultat de Selberg montre que leur somme est bien définie.
Murty 1994, Lemma 4.2
Une célèbre conjecture de Dedekind affirme que pour toute extension algébrique finie $F$ de ${Q}$ , la fonction zêta $\zeta _{F}(s)$ est divisible par la fonction zêta de Riemann $\zeta (s)$ . C'est à dire que le quotient $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ est entier. Plus généralement, Dedekind suppose que si $K$ est une extension finie de $F$ , alors $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ doit être entier. Cette conjecture est toujours ouverte.
Murty 1994, Theorem 4.3
Conrey et Ghosh 1993, § 4

Références

Selberg, Atle (1992), "Anciennes et nouvelles conjectures et résultats concernant une classe de séries de Dirichlet", Actes de la Conférence amalfitaine sur la théorie analytique des nombres (Maiori, 1989) , Salerno: Univ. Salerno, pp. 367–385, MR 1220477 , Zbl 0787.11037 Réimprimé dans Collected Papers, volume 2 , Springer-Verlag, Berlin (1991).
Conrey, J. Brian ; Ghosh, Amit (1993), "Série de Dirichlet sur les Selberg: petits degrés", Duke Mathematical Journal , 72 (3): 673-693, arXiv : math.NT / 9204217 , doi : 10.1215 / s0012-7094-93 -07225-0 , MR 1253620 , Zbl 0796.11037

Murty, M. Ram (1994), "Conjectures de Selberg et fonctions d'Artin L ", Bulletin de la Société mathématique américaine , Nouvelle série, Société mathématique américaine, 31 (1): 1–14, arXiv : math / 9407219 , doi : 10.1090 / s0273-0979-1994-00479-3 , MR 1242382 , Zbl 0805.11062

Murty, M. Ram (2008), Problèmes de théorie des nombres analytique , Textes de maîtrise en mathématiques , Lectures en mathématiques, 206 (Deuxième éd.), Springer-Verlag , Chapitre 8, doi : 10.1007 / 978-0-387-72350- 1 , (ISBN 978-0-387-72349-5) , MR 2376618 , Zbl 1190.11001

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[1] Le titre de l'article de Selberg est une sorte de plaisanterie vis-à-vis de Paul Erdős, qui écrit de nombreux articles dont les titres ressemblent à "(Certains) problèmes anciens et nouveaux et résultats concernant ...". En effet, la conférence d'Amalfi de 1989 était assez surprenante dans la mesure où Selberg et Erdős étaient présents, l'histoire racontant que Selberg ne savait pas que Erdős devait y assister.

[2] Conrey et Ghosh 1993, §1

[Murty_2008-3] Murty 2008

[4] Murty 1994

[5] (en) Jerzy Kaczorowski et Alberto Perelli, « On the structure of the Selberg class, VII. », Annals of Mathematics, n^o 173,‎ 2011, p. 1397–1411 (DOI 10.4007/annals.2011.173.3.4, lire en ligne [PDF])

[6] Les zéros sur la limite sont comptés avec une demi-multiplicité.

[7] Bien que les ω _i ne soient pas définis de manière unique par F , le résultat de Selberg montre que leur somme est bien définie.

[8] Murty 1994, Lemma 4.2

[9] Une célèbre conjecture de Dedekind affirme que pour toute extension algébrique finie $F$ de ${Q}$ , la fonction zêta $\zeta _{F}(s)$ est divisible par la fonction zêta de Riemann $\zeta (s)$ . C'est à dire que le quotient $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ est entier. Plus généralement, Dedekind suppose que si $K$ est une extension finie de $F$ , alors $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ doit être entier. Cette conjecture est toujours ouverte.

[10] Murty 1994, Theorem 4.3

[11] Conrey et Ghosh 1993, § 4