Points cocycliques

En géométrie, des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle.

Trois points non alignés du plan sont cocycliques. En effet, tout triangle possède un cercle circonscrit.

Quatre points cocycliques

Propriété — Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points distincts du plan. Alors $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité d'angles orientés

\left({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}}\right)=\left({\overrightarrow {DA}},{\overrightarrow {DB}}\right)\mod \pi .

La propriété précédente est un corollaire du théorème de l'angle inscrit.

Si $a,b,c,d$ sont les affixes respectives de $A,B,C,D$ , la condition précédente s'écrit aussi

\arg \left({\frac {c-b}{c-a}}\right)=\arg \left({\frac {d-b}{d-a}}\right)\mod \pi

D'où en utilisant le birapport, la condition équivalente :

[a,b,c,d]=\left({\frac {c-b}{c-a}}\right):\left({\frac {d-b}{d-a}}\right)

réel

Le théorème de Ptolémée donne une condition nécessaire et suffisante de cocyclicité de quatre points par leurs distances.

Théorème — Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points distincts du plan. Ces points sont cocycliques si et seulement si l'une des quatre égalités suivantes est vérifiée :

AB.CD\pm AC.DB\pm AD.BC=0

.

L'énoncé donne « quatre égalités » car ± doit se lire soit +, soit -[1].

Référence

Donné sous cette forme par Marcel Berger, Géométrie vivante : ou l'échelle de Jacob, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique », 2009 (ISBN 9782842250355), p. 154.

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[1] Donné sous cette forme par Marcel Berger, Géométrie vivante : ou l'échelle de Jacob, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique », 2009 (ISBN 9782842250355), p. 154.