Codage de Prüfer

La suite de Prüfer est construite à l'aide de l'algorithme suivant :

Données : Arbre T
Tant qu'il reste plus de deux sommets dans l'arbre T
    Identifier la feuille v de l'arbre ayant le numéro minimum
    Ajouter à la suite P le seul sommet s adjacent à v dans l'arbre T
    Enlever de l'arbre T le sommet v et l'arête incidente à v
Fin Tant que

Considérons l'arbre de la figure au-dessus.

Au départ, 1 est la feuille de numéro minimum, c'est donc elle qu'on retire en premier, et l'on met 4 (le numéro de la branche à laquelle elle était raccordée) dans la suite de Prüfer.

Les sommets 2 et 3 sont les suivants à être enlevés et on ajoute encore deux fois 4 à la suite de Prüfer.

Le sommet 4 est à présent une feuille et a le numéro le plus bas, donc on le retire et l'on ajoute 5 (la branche à laquelle il était raccordé) à la fin de la suite.

Il ne reste plus que deux sommets, donc on s'arrête. La suite de Prüfer codant l'arbre est ${\displaystyle P=(4,4,4,5)}$.

L'arbre peut être reconstruit à l'aide de l'algorithme inverse suivant[3] :

Données : suite de Prüfer P de longueur n – 2
Créer un graphe T composé de n sommets isolés numérotés de 1 à n
Créer une suite D composée de n valeurs toutes à 1, appelées degrés
Pour chaque valeur xi de P
    Augmenter de 1 le degré du sommet numéroté xi dans D
Fin Pour chaque
Pour chaque valeur xi de P
    Trouver le sommet de degré 1 qui a le plus petit numéro, soit j ce numéro
    Ajouter l'arête allant de xi en j au graphe T
    Diminuer de 1 les degrés de xi et de j dans D
Fin Pour chaque
Ajouter l'arête reliant les deux sommets restants de degré 1

Considérons la suite ${\displaystyle P=(4,4,4,5)}$. Il faut qu'elle nous permette de reconstruire l'arbre de la figure au-dessus.

Dans une première phase, on crée un graphe à six sommets isolés numérotés de 1 à 6. On leur attribue à tous un degré par défaut égal à 1. Ensuite, on parcourt P en augmentant le degré des sommets qui y figurent : on augmente trois fois le degré du sommet 4 et une fois le degré du sommet 5. Finalement, on a les degrés D = (1, 1, 1, 4, 2, 1).

Dans la phase suivante, on parcourt à nouveau P :

• Pour x₁ = 4, on cherche le sommet de numéro le plus faible de degré égal à 1. C'est le sommet numéro 1 et l'on relie les sommets 1 et 4, tout en diminuant leurs degrés. On a à présent les degrés D = (0, 1, 1, 3, 2, 1).
• Pour x₂ = 4, on cherche le sommet de numéro le plus faible de degré égal à 1. C'est le sommet numéro 2 et l'on relie les sommets 2 et 4, tout en diminuant leurs degrés. On a à présent les degrés D = (0, 0, 1, 2, 2, 1).
• Pour x₃ = 4, on cherche le sommet de numéro le plus faible de degré égal à 1. C'est le sommet numéro 3 et l'on relie les sommets 3 et 4, tout en diminuant leurs degrés. On a à présent les degrés D = (0, 0, 0, 1, 2, 1).
• Pour x₄ = 5, on cherche le sommet de numéro le plus faible de degré égal à 1. C'est le sommet numéro 4 et l'on relie les sommets 4 et 5, tout en diminuant leurs degrés. On a à présent les degrés D = (0, 0, 0, 0, 1, 1).

Enfin, on relie les deux sommets restants de degré 1, à savoir les sommets de numéros 5 et 6. On a bien reconstitué l'arbre T original.

L'arbre peut être reconstruit à l'aide de l'algorithme inverse suivant[1] :

Données : suite de Prüfer P de longueur n – 2
Créer un graphe T composé de n sommets isolés numérotés de 1 à n
Créer une suite I des numéros de 1 à n
Tant qu'il reste des éléments dans P et plus de deux éléments dans I
    Soit s le premier élément de la suite P
    Identifier le plus petit élément j de I n'apparaissant pas dans la suite P
    Ajouter l'arête allant de j à s
    Enlever j de I et s de P 
Fin Tant que
Ajouter l'arête reliant les deux sommets restant dans I

Considérons la suite ${\displaystyle P=(4,4,4,5)}$. Il faut à nouveau qu'elle nous permette de reconstruire l'arbre de la figure au-dessus.

Au départ, I = (1, 2, 3, 4, 5, 6). Ensuite :

• Le premier élément de P est 4 et le plus petit élément de I n'apparaissant pas dans P est 1. On relie les sommets 1 et 4 dans T et on les retire respectivement de I et de P. À ce stade, I = (2, 3, 4, 5, 6) et P = (4, 4, 5).
• Le premier élément de P est 4 et le plus petit élément de I n'apparaissant pas dans P est 2. On relie les sommets 2 et 4 dans T et on les retire respectivement de I et de P. À ce stade, I = (3, 4, 5, 6) et P = (4, 5).
• Le premier élément de P est 4 et le plus petit élément de I n'apparaissant pas dans P est 3. On relie les sommets 3 et 4 dans T et on les retire respectivement de I et de P. À ce stade, I = (4, 5, 6) et P = (5).
• Le seul élément de P est 5 et le plus petit élément de I n'apparaissant pas dans P est 4. On relie les sommets 4 et 5 dans T et on les retire respectivement de I et de P. À ce stade, I = (5, 6) et P est vide.

On relie enfin les sommets restants 5 et 6. On a bien reconstitué l'arbre T original.

On montre d'abord que :

• pour un arbre T, il existe une seule suite de Prüfer P décrivant T ;
• pour une suite P donnée de longueur n – 2, il y a un seul graphe T numéroté de 1 à n dont la suite de Prüfer est P, et c'est un arbre.

Le codage de Prüfer fournit donc une bijection entre l'ensemble des arbres numérotés à n sommets et l'ensemble des suites de longueur n – 2 composées de valeurs dans l'intervalle [1, n]. Comme ce dernier possède ${\displaystyle n^{n-2}}$ éléments, et comme le codage de Prüfer est bijectif, cela démontre la formule de Cayley.

On peut aller plus loin et prouver que le nombre d'arbres couvrant un graphe complet ${\displaystyle K_{n}}$ de degrés ${\displaystyle d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}}$ est égal au coefficient multinomial ${\displaystyle {\frac {(n-2)!}{(d_{1}-1)!(d_{2}-1)!\cdots (d_{n}-1)!}}}$.

La démonstration s'appuie sur le fait que, dans la suite de Prüfer, le numéro ${\displaystyle i}$ apparaît exactement ${\displaystyle d_{i}-1}$ fois.