Coefficient binomial central

Sauf pour le premier d'entre eux, ${\displaystyle {\binom {0}{0}}=1}$, tout coefficient binomial central est un entier pair.

Plusieurs preuves élémentaires existent[1]. La plus simple, utilisant la « formule du pion » (${\displaystyle {\dbinom {m}{n}}={\frac {m}{n}}{\dbinom {m-1}{n-1}}}$), montre que ce coefficient est le double d'un entier « voisin » dans le triangle de Pascal :

${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}=2{\dbinom {2n-1}{n-1}}}$.

Avec le théorème de Wolstenholme, il résulte également de cette égalité[2] que si p est un nombre premier supérieur ou égal à 5, alors ${\displaystyle {\dbinom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{3}}}.}$

Le coefficient binomial central d'ordre n est divisible par n + 1, ce qui revient à dire que le nombre de Catalan ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\dbinom {2n}{n}}}$ est un entier.

Pour le prouver, le plus simple est — de même que pour les coefficients binomiaux — d'utiliser l'une des nombreuses interprétations combinatoires de C_n[3].

Il existe aussi des preuves algébriques[4]. On peut par exemple remarquer[3]^,[5]^,[6] que ${\displaystyle C_{n}={\dbinom {2n}{n}}-{\dbinom {2n}{n-1}}}$.

Dans la décomposition en produit de facteurs premiers du coefficient binomial central d'ordre n, on note e la puissance du nombre premier p, c'est-à-dire que e est le plus grand exposant tel que p^e divise ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}}$. Si ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ désigne la partie entière du réel x, alors, en posant ${\displaystyle k=\lfloor \log _{p}2n\rfloor }$, on établit, en application de la formule de Legendre[7] :

${\displaystyle e=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {2n}{p^{i}}}\right\rfloor -2\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }$

Par exemple, si ${\displaystyle n=14}$ et ${\displaystyle p=5}$, alors ${\displaystyle k=2}$ et ${\displaystyle e=2}$, de sorte que 5² divise le nombre ${\displaystyle {\dbinom {28}{14}}=40~116~600}$ mais 5³ ne le divise pas.

Dans le cas où ${\displaystyle p=2}$, le nombre e est[8] le nombre de 1 dans l’écriture binaire de n. Pour tout n > 0, e vaut donc au moins 1 et l'on retrouve ainsi (voir supra) que ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ est pair[8].

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ est divisible par ce produit ${\displaystyle P_{n}={\frac {(2n)\#}{n\#}}}$ où ${\displaystyle n\#}$ désigne la primorielle de n.

En effet, ${\displaystyle P_{n}}$ divise le numérateur ${\displaystyle (n+1)\cdots 2n}$ et est premier avec le dénominateur ${\displaystyle n!}$.

${\displaystyle (P_{n})}$ est répertoriée comme suite A261130 de l'OEIS, et ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}/P_{n}}$ comme suite A263931 de l'OEIS.

En 1850, Tchebychev utilise la propriété précédente pour obtenir une évaluation de la distribution des nombres premiers[9]. Plus précisément, il encadre l'expression ${\displaystyle \pi (x){\frac {\ln {x}}{x}}}$ par des constantes, où ${\displaystyle \pi (x)}$ est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux au réel x, et ln est le logarithme népérien[10].

Pour établir la minoration de gauche dans les inégalités de Tchebychev :

${\displaystyle \forall x\geqslant 2,{\frac {\ln {2}}{4}}{\frac {x}{\ln {x}}}\leqslant \pi (x)\leqslant 9\ln {2}{\frac {x}{\ln {x}}}}$

on peut procéder ainsi[11].

En utilisant la majoration ${\displaystyle \lfloor 2y\rfloor -2\lfloor y\rfloor \leqslant 1}$ valable pour tout réel y, la valuation ${\displaystyle e_{p}}$ de l'entier p dans ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ vérifie ${\displaystyle e_{p}\leqslant \lfloor \log _{p}2n\rfloor }$ d'après l'égalité de la section précédente. Puisque ${\displaystyle p^{\lfloor \log _{p}2n\rfloor }\leqslant 2n}$

${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}\leqslant \prod _{p\leqslant 2n}p^{\lfloor \log _{p}2n\rfloor }\leqslant \prod _{p\leqslant 2n}2n=(2n)^{\pi (2n)}}$

Mais de manière élémentaire : ${\displaystyle 2^{n}\leqslant {\dbinom {2n}{n}}}$ donc ${\displaystyle \pi (2n)\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {(2n)}}}}$. Si à ${\displaystyle x\geqslant 2}$ on associe l'entier n tel que ${\displaystyle n\leqslant {\frac {x}{2}}<n+1}$ :

${\displaystyle \pi (x)\geqslant \pi (2n)\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {(2n)}}}\geqslant {\frac {n\ln {2}}{\ln {x}}}\geqslant {\frac {(2n+2)\ln {2}}{4\ln {x}}}>{\frac {\ln {2}}{4}}{\frac {x}{\ln {x}}}}$.

On a vu, sur des exemples précédents, que ${\displaystyle {\dbinom {28}{14}}}$ admet ${\displaystyle 5^{2}}$ comme facteur carré et que ${\displaystyle 2^{2}}$ divise ${\displaystyle {\dbinom {30}{15}}}$. Ce phénomène est général.

En 1975, Paul Erdős conjecture que, pour ${\displaystyle n>4}$, le coefficient binomial central ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}}$ est toujours divisible par le carré d'un nombre premier, c'est-à-dire qu'il n'est pas quadratfrei. Le résultat est établi pour n grand par András Sárközy dix ans plus tard[12]. Il est totalement démontré par G. Velammal en 1995[13] et indépendamment par Andrew Granville et Olivier Ramaré en 1996[14].

Notons ${\displaystyle A_{n}={\dbinom {2n}{n}}}$ et ${\displaystyle G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}x^{n}}$ la série génératrice associée. À l'aide de la relation de récurrence :

${\displaystyle (n+1)A_{n+1}=2(2n+1)A_{n}}$,

on montre que ${\displaystyle G}$ est solution de l'équation différentielle linéaire : ${\displaystyle (1-4x)G^{\prime }(x)=2G(x)}$ ce qui permet d'obtenir l'expression[15]^,[16] (valable pour ${\displaystyle |x|<1/4}$) :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\dbinom {2n}{n}}x^{n}=G(x)={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}}$.

Elle se déduit facilement de la relation : ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2x)^{2n}}{\binom {2n}{n}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}+{\frac {x\arcsin x}{(1-x^{2})^{3/2}}}}$.

Cette relation s'obtient par dérivation de la série génératrice des intégrales de Wallis d'ordre impair[17] : ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4^{n}}{\binom {2n}{n}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}={\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.

Le coefficient binomial central apparaît de manière inattendue dans des égalités remarquables, ce qui explique l'intérêt qui lui est porté[18].

En 1985, Derrick Lehmer[19] calcule, en fonction de deux suites de polynômes définies par récurrence sur l'entier ${\displaystyle k\geqslant -2}$, les séries de la forme

${\displaystyle S_{k}(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n^{k}(2x)^{2n}}{\dbinom {2n}{n}}}}$

et remarque que ${\displaystyle S_{k}(1/{\sqrt {2}})=u_{k}\pi +v_{k}}$, où ${\displaystyle v_{k}/u_{k}}$ est « une bonne approximation de ${\displaystyle \pi }$ ».

Par exemple (voir supra)[20]^,[21] : ${\displaystyle S_{-1}(x)={\frac {2x\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ donc en divisant par ${\displaystyle 2x}$ et en intégrant[22]^,[23] : ${\displaystyle S_{-2}(x)=2(\arcsin x)^{2}}$.

En 1730, dans son étude du problème de Bâle, Stirling avait utilisé l'accélération de convergence ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=3\,S_{-2}(1/2)}$ pour déterminer des valeurs approchées de la première somme[23] (il ne disposait pas de l'égalité ci-dessus, dont on déduit que ${\displaystyle S_{-2}(1/2)=\pi ^{2}/18}$).

L'intérêt pour les sommes avec coefficient binomial central s'est accru après que Roger Apéry a utilisé l'égalité ${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {5}{2}}S_{-3}(\mathrm {i} /2)}$ où ${\displaystyle \zeta }$ désigne la fonction zêta de Riemann. Dans un théorème qui porte son nom, il en déduit que ${\displaystyle \zeta (3)}$ est irrationnel[24].

Lehmer s'intéresse plus généralement aux séries du type ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}{\binom {2n}{n}}{\text{ ou }}\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {a_{n}}{\dbinom {2n}{n}}}}$, où les ${\displaystyle a_{n}}$ sont « des fonctions très simples de ${\displaystyle n}$ »[25]. Par exemple, en divisant par ${\displaystyle x}$ l'égalité ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}-1}$ (voir supra) et en intégrant, il obtient[20]^,[21] :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n}}=2\ln {\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}}$.

On trouve dans la littérature plusieurs expressions du coefficient binomial central à l'aide d'intégrales[26]. Ainsi par exemple

${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}(2\sin x)^{2n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{4}{\sqrt {\frac {x}{4-x}}}x^{n-1}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{(1/4+x^{2})^{n+1}}}\,\mathrm {d} x}$

La première expression est liée à l'intégrale de Wallis d'ordre pair : ${\displaystyle W_{2n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n}x{\text{ d}}x={\frac {\pi }{2}}{\frac {\binom {2n}{n}}{4^{n}}}}$.

Le coefficient binomial central s'obtient comme résultat des sommes suivantes[27] :

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}(-1)^{n-k}{\binom {2n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {2n+1}{k}}={\binom {2n}{n}}}$

La première relation — cas particulier de l'identité de Vandermonde — s'obtient par exemple en exprimant le coefficient de degré n de deux façons dans ${\displaystyle (1+X)^{2n}=(1+X)^{n}(1+X)^{n}}$.

La deuxième relation s'obtient en exprimant le coefficient de degré 2n de deux façons dans l'identité ${\displaystyle (1-X^{2})^{2n}=(1-X)^{2n}(1+X)^{2n}}$.

La troisième est le cas particulier ${\displaystyle m=2n+1}$ de l'égalité ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {m}{k}}=(-1)^{n}{\binom {m-1}{n}}}$, que l'on peut démontrer par récurrence sur ${\displaystyle n}$ (à l'aide de la formule de Pascal), mais aussi combinatoirement[28].

Connaissant un équivalent de la suite des intégrales de Wallis et leur lien avec les coefficients binomiaux centraux (voir supra), on obtient : ${\displaystyle {\dbinom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$.

Cet équivalent permet d'établir la formule de Stirling à partir de celle d'Abraham de Moivre.

Inversement, on peut utiliser la formule de Stirling pour produire un équivalent du coefficient binomial central[29].

A partir du développement asymptotique de ${\displaystyle n}$!, on obtient ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)\right)}$.

Et l'encadrement ${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}\right)\leqslant {\binom {2n}{n}}\leqslant {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$ est même valable pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1}$.

• (en) Thomas Koshy, Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, 2009, 422 p. (ISBN 019533454X, lire en ligne), chap. 2 (« The Central Binomial Coefficient »). 
• (en) Derrick Lehmer, « Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient », The American Mathematical Monthly, vol. 92, n^o 7,‎ août-septembre 1985, p. 447-469 (DOI 10.2307/2322496). 
• Jean-Marie De Koninck et Armel Mercier, Introduction à la théorie des nombres, Modulo Éditeur, 1994, 254 p. (ISBN 2-89113-500-8), « Les inégalités de Tchebycheff ». 

• (en) « Central binomial coefficient », sur PlanetMath

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