Coefficient de Poisson

Mis en évidence (analytiquement) par Siméon Denis Poisson, le coefficient de Poisson (aussi appelé coefficient principal de Poisson) permet de caractériser la contraction de la matière perpendiculairement à la direction de l'effort appliqué.

Illustration du coefficient de Poisson.

Définition

$\nu ={\frac {\text{rétrécissement transversal relatif}}{\text{allongement longitudinal relatif}}}={\frac {(l_{0}-l)/l_{0}}{(L-L_{0})/L_{0}}}={\frac {1-{\frac {l}{l_{0}}}}{{\frac {L}{L_{0}}}-1}}$

Dans le cas le plus général le coefficient de Poisson dépend de la direction de l'allongement, mais :

dans le cas important des matériaux isotropes il en est indépendant ;
dans le cas d'un matériau isotrope transverse (en) on définit trois coefficients de Poisson (dont deux liés par une relation) ;
dans le cas d'un matériau orthotrope on définit deux coefficients de Poisson (liés par une relation) pour chacune des trois directions principales.

Le coefficient de Poisson fait partie des constantes élastiques. Il est nécessairement compris entre −1 et 0,5, mais généralement positif. Certains matériaux artificiels et quelques matériaux naturels (certaines roches sédimentaires riches en quartz[1]) ont un coefficient de Poisson négatif ; ces matériaux particuliers sont dits auxétiques. Les valeurs expérimentales obtenues pour un matériau quelconque sont souvent voisines de 0,3.

Relations

Cas d'un matériau isotrope

Le changement de volume ΔV/V dû à la contraction du matériau peut être donné par la formule (uniquement valable pour de petites déformations) :

{\frac {\Delta V}{V_{0}}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L_{0}}}

Démonstration

Soit un cube constitué d'un matériau isotrope d'un volume initial $V_{0}=L_{0}^{3}$ , et de volume final $V=L\cdot l^{2}=L_{0}(1+\epsilon )\cdot (L_{0}(1-\nu \cdot \epsilon ))^{2}$ .
Où $\epsilon ={\frac {\Delta L}{L_{0}}}$
La relation entre les deux est donc :

$V=(V_{0}+\Delta V)=V_{0}\cdot (1+\epsilon )\cdot (1-\nu \cdot \epsilon )^{2}$ , soit en développant :

$V=(V_{0}+\Delta V)=V_{0}\cdot (1+\epsilon -2\cdot \nu \cdot \epsilon +\nu ^{2}\cdot \epsilon ^{2}-2\cdot \nu \cdot \epsilon ^{2}+\nu ^{2}\cdot \epsilon ^{3})$

L'hypothèse de petites déformations permet de négliger les termes du second ordre, on obtient alors :

$V_{0}+\Delta V=V_{0}\cdot (1+\epsilon -2\cdot \nu \cdot \epsilon )$

$\Delta V=V_{0}\cdot (\epsilon -2\cdot \nu \cdot \epsilon )$

en divisant cette relation par le volume initial $V_{0}$ :

${\dfrac {\Delta V}{V_{0}}}=(1-2\nu )\cdot \epsilon$

Le module d'élasticité isostatique ( $K$ ) est lié au Module de Young ( $E$ ) par le coefficient de Poisson ( $\nu$ ) au travers de la relation :

K={\frac {1}{3}}{\frac {E}{(1-2\nu )}}

Cette relation montre que $\nu$ doit rester inférieur à ½ pour que le module d'élasticité isostatique reste positif. On note également les valeurs particulières de ν :

pour ν = 1/3 on a K = E.
pour ν → 0,5 on a K → ∞ incompressibilité (cas du caoutchouc, par exemple)

Avec le module de Young ( $E$ ) exprimé en fonction du module de cisaillement ( $G$ ) et de $\nu$ :

E=2(1+\nu )\cdot G

.

Cette relation met en évidence le fait que $\nu$ ne peut être inférieur à -1, sinon son module de cisaillement serait négatif (il serait sollicité en traction dès qu'on le comprimerait !).

Cas d'un stratifié (isotrope transverse)

Un coefficient secondaire de Poisson est alors défini par la relation suivante :

${\frac {E_{1}}{\nu _{12}}}={\frac {E_{2}}{\nu _{21}}}$

où $E_{1}$ et $E_{2}$ sont les modules de Young des matériaux et $\nu _{21}$ est le coefficient secondaire de Poisson.

Cas des matériaux naturels

Le coefficient de Poisson peut être calculé à partir de l'allongement longitudinal et du rétrécissement transversal, mesurés directement.

Pour les matériaux très rigides il peut être plus commode de mesurer la vitesse de propagation des ondes P et des ondes S et d'en déduire le coefficient de Poisson, grâce à la relation :

\nu ={\frac {1}{2}}\left[1-{\frac {1}{\left({\frac {V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {S} }}}\right)^{2}-1}}\right]

.

Corps simples

La plupart des corps simples à l'état solide ont un coefficient de Poisson compris entre 0,2 et 0,4. Sur 64 de ces corps simples[1], 6 seulement ont un coefficient supérieur à 0,4 (Si : 0,422 ; Au : 0,424 ; Pb : 0,442 ; Mo : 0,458 ; Cs : 0,460 ; Tl : 0,468), et 4 un coefficient inférieur à 0,2 (Ru : 0,188 ; Eu : 0,139 ; Be : 0,121 ; U : 0,095) ; aucun n'est auxétique.

Oxydes

Sur 160 oxydes testés en 2018[1], un seul est auxétique dans les conditions ambiantes, la cristobalite α[alpha 1] ( $ν =$ −0,164[2]), et elle le reste de 20 à 1 500 °C. Le quartz a aussi un coefficient de Poisson nettement plus petit que les autres oxydes : ( $ν =$ 0,08 à température ambiante.

Pour 97,4 % des oxydes le coefficient de Poisson est compris entre 0,150 et 0,400 (moyenne : 0,256 ; écart type : 0,050). D'une manière générale le coefficient de Poisson est corrélé positivement avec la masse volumique : $\nu \approx 0{,}0285\,\rho -0{,}1227$ (en excluant la cristobalite et le quartz) mais le coefficient de détermination $r 2$ n'est pas très élevé : 0,28. La corrélation est meilleure quand on ne considère que les oxydes cristallisant dans un même système réticulaire :

Coefficient de Poisson des oxydes[1]
Système[grec 1]	$n$ [grec 2]	Équation de corrélation	$r 2$
hexagonal	8	$\nu \approx 0{,}0506\,\rho +0{,}067$	0,99
trigonal	24	$\nu \approx 0{,}0852\,\rho -0{,}1267$	0,83
cubique	70	$\nu \approx 0{,}0852\,\rho -0{,}1267$	0,46
tétragonal	19	$\nu \approx 0{,}0525\,\rho -0{,}0264$	0,36
orthorhombique	33	$\nu \approx 0{,}0129\,\rho +0{,}1873$	0,27

L'unique oxyde monoclinique étudié a un coefficient de Poisson égal à 2,271.
$n$ : nombre d'oxydes pris en compte dans la régression linéaire.

Silicates

Le coefficient de Poisson des 301 silicates testés en 2018 (9 cyclosilicates, 43 inosilicates, 219 nésosilicates, 5 phyllosilicates et 25 tectosilicates)[1] varie entre 0,080 pour le quartz[alpha 2] et 0,365 pour le zircon. Si l'on excepte ces deux extrêmes, $ν$ varie entre 0,200 et 0,350 (moyenne : 0,261 ; écart-type : 0,030).

Autres composés inorganiques

Le coefficient de Poisson des carbonates, des halogénures, des phosphates, des sulfates et des sulfures s'étage entre 0,091 et 0,379 :

Coefficient de Poisson de différents composés chimiques[1]
Composés	$n$	Intervalle de valeurs	Moyenne	Écart type
Carbonates	12	0,178-0,319	0,288	0,041
Halogénures	10	0,133-0,310	0,258	0,048
Phosphates	8	0,091-0,316	0,243	0,083
Sulfates	8	0,191-0,379	0,305	0,057
Sulfures	10	0,160-0,376	0,290	0,086

Quelques valeurs numériques

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. Néanmoins, pour les calculs, on peut considérer en bonne approximation les valeurs suivantes. Le coefficient de Poisson n'a pas d'unité.

Métaux purs
Matériau	$ν$
Aluminium (Al)	0,346
Béryllium (Be)	0,032
Bore (B)	0,21
Cuivre (Cu)	0,33
Fer (Fe)	0,21 – 0,259
Magnésium (Mg)	0,35
Or (Au)	0,42
Plomb (Pb)	0,44
Titane (Ti)	0,34

Alliages
Matériau	$ν$
Acier de construction	0,27 – 0,30
Acier inoxydable	0,30 – 0,31
Fontes	0,21 – 0,26
Laiton	0,37

Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Matériau	$ν$
Argile humide	0,40 – 0,50
Béton	0,20
Sable	0,20 – 0,45
Carbure de silicium (SiC)	0,17
Si₃N₄	0,25
Verre	0,18 – 0,3

Matériaux naturels
Matériau	$ν$
Polymères, fibres	0,30 – 0,50
Caoutchouc	0,50
Liège	0,05 – 0,40
Mousse	0,10 – 0,40
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle)	0,40 – 0,43

Notes et références

Notes

La cristobalite α est un polymorphe métastable du dioxyde de silicium SiO₂.
Le quartz n'est pas à proprement parler un silicate (c'est un oxyde), mais il est classé parmi les tectosilicates dans les différentes classifications de minéraux.

Références

(en) Shaocheng Ji, Le Li, Hem Bahadur Motra, Frank Wuttke, Shengsi Sun et al., « Poisson's Ratio and Auxetic Properties of Natural Rocks », Journal of Geophysical Research − Solid Earth, vol. 123, n^o 2,‎ février 2018, p. 1161-1185 (DOI 10.1002/2017JB014606).
(en) A. Yeganeh-Haeri, D. J. Weidner et J. B. Parise, « Elasticity of α-cristobalite: A silicon dioxide with a negative Poisson’s ratio », Science, vol. 257, n^o 5070,‎ 31 juillet 1992, p. 650-652 (DOI 10.1126/science.257.5070.650).

Articles connexes

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[4] L'unique oxyde monoclinique étudié a un coefficient de Poisson égal à 2,271.

[5] $n$ : nombre d'oxydes pris en compte dans la régression linéaire.

[2] La cristobalite α est un polymorphe métastable du dioxyde de silicium SiO₂.

[6] Le quartz n'est pas à proprement parler un silicate (c'est un oxyde), mais il est classé parmi les tectosilicates dans les différentes classifications de minéraux.

[Shaocheng2018-1] (en) Shaocheng Ji, Le Li, Hem Bahadur Motra, Frank Wuttke, Shengsi Sun et al., « Poisson's Ratio and Auxetic Properties of Natural Rocks », Journal of Geophysical Research − Solid Earth, vol. 123, n^o 2,‎ février 2018, p. 1161-1185 (DOI 10.1002/2017JB014606).

[3] (en) A. Yeganeh-Haeri, D. J. Weidner et J. B. Parise, « Elasticity of α-cristobalite: A silicon dioxide with a negative Poisson’s ratio », Science, vol. 257, n^o 5070,‎ 31 juillet 1992, p. 650-652 (DOI 10.1126/science.257.5070.650).