Homologie des groupes

En algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe.

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Pour un groupe G, on note ℤ[G] l'algèbre du groupe G sur l'anneau des entiers relatifs ℤ.

Soient alors M un ℤ[G]-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et ${\displaystyle \epsilon :F_{*}\rightarrow M\rightarrow 0}$ une résolution projective de M.

Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par :

${\displaystyle H_{i}(G;M)=H_{i}(F_{*}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}\mathbb {Z} )}$

De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par :

${\displaystyle H^{i}(G;M)=H^{i}(\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,F^{*}))}$

où ${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow F^{*}}$ est une résolution injective de M. Un résultat standard d'algèbre homologique montre que ces constructions sont indépendantes des résolutions ${\displaystyle F_{*}}$ et ${\displaystyle F^{*}}$ choisies.