Loi commutative

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble $E$ est dite commutative si pour tous $x$ et $y$ dans $E$ ,

x\star y=y\star x

.

La multiplication de 3 par 2 donne le même résultat que la multiplication de 2 par 3.

En notant $m:E\times E\to E,\;(x,y)\mapsto x\star y$ , la commutativité se traduit par le diagramme commutatif suivant :

Exemples

Les exemples les plus simples de lois commutatives sont sans doute l'addition et la multiplication des entiers naturels. L'addition et la multiplication des nombres réels et des nombres complexes, l'addition des vecteurs, l'intersection et la réunion des ensembles sont également des lois commutatives.

À l'inverse, la soustraction, la division, la multiplication des matrices, la composition d'applications et la multiplication des quaternions sont des lois non commutatives.

Histoire

Extrait de la p. 98 de l'article de Servois où est apparu pour la première fois le terme.

Certains écrits de l'Antiquité utilisent implicitement des propriétés de commutativité. Les Égyptiens utilisaient la commutativité de la multiplication pour simplifier les calculs de produits[1]^,[2]. Euclide, dans ses Éléments, avait aussi supposé la commutativité de la multiplication[3]. La définition formelle de la commutativité a émergé à la fin du XVIII^e et au début du XIX^e siècle, lorsque les mathématiciens ont commencé à construire une théorie des fonctions. Aujourd'hui, la propriété de commutativité est considérée comme une propriété basique, utilisée dans la plupart des branches des mathématiques.

La première apparition du terme « commutatif » remonte à un article aux Annales de Gergonne écrit par François-Joseph Servois en 1814[4]^,[5]^,[6], où celui-ci étudiait les propriétés de fonctions qui commutent entre elles (par composition). L'expression commutative law (en anglais) est ensuite apparue en 1838 sous la plume de Duncan Farquharson Gregory[7], dans un article intitulé « On the real nature of symbolical algebra » publié en 1840 dans les Transactions of the Royal Society of Edimbourg[8].

Structures à lois commutatives

Les structures suivantes ont pour point commun d'être décrites par la donnée d'une ou plusieurs lois internes dont on exige la commutativité :

les groupes commutatifs (on dit aussi « groupes abéliens ») ;
les anneaux commutatifs ;
les corps commutatifs.

Éléments permutables

Soit S un ensemble muni d'une loi de composition interne $\star$ . Deux éléments x et y de S sont dits permutables lorsque :

x\star y=y\star x

.

On dit aussi que x et y commutent.

Ainsi, $\star$ est commutative si et seulement si deux éléments quelconques de S sont toujours permutables.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Commutative property » (voir la liste des auteurs).

(en) Beatrice Lumpkin The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter, 1997 (prépublication décrivant les connaissances mathématiques des civilisations anciennes), p. 11.
(en) R. Gay Robins et Charles C. D. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text, Londres, British Museum, 1987 (ISBN 0-7141-0944-4) (traduction et interprétation du Papyrus Rhind), p. ?^{[réf. incomplète]}.
(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « The real numbers: Pythagoras to Stevin », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
Servois, « Analise transcendante. Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul differentiel », Annales de Gergonne, vol. 5, n^o 4,‎ 1^er octobre 1814, p. 93-140.
(en) Julio Cabillón et Jeff Miller, Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Commutative and Distributive.
(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « François Joseph Servois », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
Raymond Flood (dir.), Adrian Rice (dir.) et Robin Wilson (dir.), Mathematics in Victorian Britain, OUP, 2011 (présentation en ligne), p. 4
(en) D. F. Gregory, « On the real nature of symbolical algebra », Transactions of the Royal Society of Edimbourg, vol. 14,‎ 1840, p. 208-216 (lire en ligne).

Voir aussi

Portail de l’algèbre

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[1] (en) Beatrice Lumpkin The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter, 1997 (prépublication décrivant les connaissances mathématiques des civilisations anciennes), p. 11.

[2] (en) R. Gay Robins et Charles C. D. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text, Londres, British Museum, 1987 (ISBN 0-7141-0944-4) (traduction et interprétation du Papyrus Rhind), p. ?^{[réf. incomplète]}.

[3] (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « The real numbers: Pythagoras to Stevin », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).

[4] Servois, « Analise transcendante. Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul differentiel », Annales de Gergonne, vol. 5, n^o 4,‎ 1^er octobre 1814, p. 93-140.

[ReferenceA-5] (en) Julio Cabillón et Jeff Miller, Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Commutative and Distributive.

[6] (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « François Joseph Servois », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).

[7] Raymond Flood (dir.), Adrian Rice (dir.) et Robin Wilson (dir.), Mathematics in Victorian Britain, OUP, 2011 (présentation en ligne), p. 4

[8] (en) D. F. Gregory, « On the real nature of symbolical algebra », Transactions of the Royal Society of Edimbourg, vol. 14,‎ 1840, p. 208-216 (lire en ligne).