Condition aux limites de Dirichlet

En mathématiques, une condition aux limites de Dirichlet (nommée d’après Johann Dirichlet) est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les valeurs que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine.

• Pour une équation différentielle, par exemple :

${\displaystyle y''+y=0~}$

la condition aux limites de Dirichlet sur l'intervalle ${\displaystyle [a,\,b]}$ s'exprime par :

${\displaystyle y(a)=\alpha \ {\text{et}}\ y(b)=\beta }$

où ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont deux nombres donnés.

• Pour une équation aux dérivées partielles, par exemple :

${\displaystyle \Delta y+y=0~}$

où ${\displaystyle \Delta ~}$ est le Laplacien (opérateur différentiel), la condition aux limites de Dirichlet sur un domaine ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$ s'exprime par :

${\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega }$

où ${\displaystyle f}$ est une fonction connue définie sur la frontière ${\displaystyle \partial \Omega }$.

Il existe d'autres conditions possibles. Par exemple la condition aux limites de Neumann, ou la condition aux limites de Robin, qui est une combinaison des conditions de Dirichlet et Neumann.