Aplanétisme

Le terme d'aplanétisme a été emprunté à l'anglais aplanatic et est employé depuis au moins 1794. « Aplanatic » et « aplanétisme » dérivent du grec ancien άπλάνητος utilisé depuis le I^er siècle et voulant dire « qui n'erre pas », « qui ne trompe pas »[2].

La première approche mathématique des achromats fut effectuée en 1760 par Samuel Klingenstierna : à cette époque ils étaient appelés lentilles aplanétiques[3].

Ernst Abbe nomme aplanétique tout objectif dénué d'aberration sphérique.

Système optique aplanétique : présentation des notations

${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle n'}$ sont les indices de réfraction en amont et en aval du système optique.

Le système optique est supposé stigmatique pour le couple de points conjugués ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle A'}$. Il en résulte que le chemin optique ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{AA'}}$ est constant quel que soit le rayon qui traverse le système optique.

De même, le système optique est stigmatique pour le couple de points conjugués ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle B'}$ de sorte que chemin optique ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{BB'}}$ est lui aussi constant. Par conséquent, la différence ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{AA'}-{\mathcal {L}}_{BB'}}$ est constante.

En considérant maintenant le point ${\displaystyle B}$ au voisinage de ${\displaystyle A}$ et situé dans un plan perpendiculaire à l'axe optique passant par ${\displaystyle A}$. Les deux points étant très proches l'un de l'autre, on se permet d'écrire que les deux rayons (provenant de ${\displaystyle A}$ et de ${\displaystyle B}$) au point ${\displaystyle I}$ émergent par un même point ${\displaystyle I'}$. ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \alpha '}$ sont les angles orientés entre l'axe optique et les rayons respectivement incident et émergent. La différence des chemins optiques peut alors s'écrire[1] :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{AA'}-{\mathcal {L}}_{BB'}\simeq n\cdot ({AI}-{BI})+n'\cdot ({I'A'}-{I'B'})}$.

En faisant l'approximation ${\displaystyle AI\simeq HI}$ et ${\displaystyle I'H'\simeq I'A'}$ :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{AA'}-{\mathcal {L}}_{BB'}\simeq n\cdot {\overline {HB}}-n'\cdot {\overline {H'B'}}=n\cdot {\overline {AB}}\cdot \sin \alpha -n'\cdot {\overline {A'B'}}\cdot \sin \alpha '}$..

En étudiant le cas particulier ${\displaystyle \alpha =0}$, on peut écrire que ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{AA'}-{\mathcal {L}}_{BB'}=0}$ et en déduire la relation nommée condition des sinus d'Abbe :

${\displaystyle n\cdot {\overline {AB}}\cdot \sin \alpha =n'\cdot {\overline {A'B'}}\cdot \sin \alpha '}$.

En utilisant le grandissement transversal ${\displaystyle \gamma _{t}={\frac {\overline {A'B'}}{\overline {AB}}}}$, on peut également écrire cette relation sous la forme[1] :

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha '}}={\frac {n'}{n}}\cdot \gamma _{t}}$.

Une autre condition peut en être déduite, la condition d'Herschell, qui se note[4] ${\displaystyle n\cdot \mathrm {d} x\cdot \sin {(\theta /2)}^{2}=n'\cdot \mathrm {d} x'\cdot \sin {(\theta ^{'}/2)}^{2}}$, concerne les objets étendus sur l'axe optique en lien avec le grandissement longitudinal ; ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ est un écart infinitésimal de l'objet et ${\displaystyle \mathrm {d} x'}$ un écart infinitésimal de l'image sur l'axe optique[5]^,[6].

D'une part la relation des sinus d'Abbe mène à ${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha /2)}{\sin(\alpha ^{'}/2)}}{\frac {\cos(\alpha /2)}{\cos(\alpha ^{'}/2)}}={\text{constante}}}$. D'autre part la relation d'Hershell mène à ${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha /2)}{\sin(\alpha ^{'}/2)}}={\text{constante}}}$. Ces deux relations ne sont compatibles que pour ${\displaystyle |\alpha |=|\alpha '|}$. Les seuls cas sont le centre du miroir sphérique et le miroir plan, on a donc incompatibilité des conditions d'Abbe et Herschell en général.

Dans le cadre de l'approximation de Gauss, le stigmatisme est dit approché : en première approximation, chaque point objet d'un système centré possède un conjugué stigmatique. L'approximation de Gauss permet de considérer de la même manière l'aplanétisme comme approché[7].

On parle souvent de systèmes aplanétiques dès lors que l'aberration sphérique[2] et/ou la coma sont corrigées[8].

• Les points de Weierstrass sont rigoureusement stigmatiques et aplanétiques, propriétés utilisées dans les objectifs de microscope par exemple[1].
• Le miroir plan est rigoureusement stigmatique et aplanétique.
• Les dioptres sphériques sont aplanétiques pour le point image et objet confondus avec le centre de courbure.
• De la même manière un miroir sphérique est aplanétique pour son centre et les points de sa surface
• Un miroir parabolique quant à lui peut être stigmatique pour son foyer mais n'est pas aplanétique[1].
• Dans un système aplanétique, en radiométrie, l'étendue géométrique d'un faisceau entrant est conservée[9].