Conjecture de Bouniakovski

La conjecture de Bouniakovsky (ou de Bunyakovsky ou Bouniakowsky), formulée en 1854 par le mathématicien russe Viktor Bouniakovski[1], n'est toujours pas démontrée ou infirmée. Elle prévoit que si P(x) est un polynôme irréductible à coefficients entiers non constant et si d est son « diviseur invariable », c'est-à-dire le PGCD des P(n) quand n parcourt les entiers, alors il existe une infinité d'entiers naturels n pour lesquels l'entier |P(n)|/d est premier[2].

Par exemple, « comme la fonction x9 – x3 + 2 520 est irréductible, et qu'elle a pour diviseur invariable le nombre 504, le trinôme (x9 – x3 + 2 520)/504 […] représentera, comme il est impossible d'en douter, une infinité de nombres premiers, en attribuant successivement à x toutes les valeurs entières possibles[1]. »

Cette conjecture « est l'extension du fameux théorème connu sur les progressions arithmétiques[1] », qui correspond au cas où le polynôme est de degré 1.

Pour le polynôme x2 + 1 (cf. « Problèmes de Landau »), on pourrait répondre par l'affirmative si l'on savait démontrer une conjecture de Hardy et Littlewood[3] sur la densité des valeurs premières d'un polynôme de degré 2.

On ne sait même pas si tout polynôme irréductible non constant dont le « diviseur invariable » vaut 1 prend ne serait-ce qu'une valeur première.

Notes et références
  1. V. Bouniakowsky, « Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières », Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg, 6e série, vol. VI,‎ , p. 305-329 (lire en ligne) (lu le 4 août 1854)
  2. De nombreux auteurs mentionnent à l'appui un autre article de Bouniakowsky, « Nouveaux théorèmes relatifs à la distinction des nombres premiers… », qui date de 1840 et non de 1857 et ne concerne aucunement cette question. Cf. par exemple (en) Wolfgang M. Rupert, « Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p », arXiv,‎ (lire en ligne) ou (en) Ed Pegg, Jr., « Bouniakowsky conjecture », sur MathWorld. Certains, comme ce dernier, donnent même un énoncé non conforme car limité au cas d = 1.
  3. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Some Problems of 'Partitio Numerorum'; III: On the Expression of a Number as a Sum of Primes », Acta Math., vol. 44, no 1,‎ , p. 1-70 (lire en ligne)

Articles connexes
  • Arithmétique et théorie des nombres
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