Conjecture de Casas-Alvero

La conjecture s'énonce de la manière suivante :

« Soit ${\displaystyle f{(x)}}$ un polynôme à coefficients complexes, disons de degré ${\displaystyle d\geq {2}}$, et supposons que chacune de ses dérivées ${\displaystyle f^{(1)}{(x)}}$, ${\displaystyle f^{(2)}{(x)}}$, …, ${\displaystyle f^{(d-1)}{(x)}}$ admette un zéro commun avec ${\displaystyle f^{(x)}}$. Alors ${\displaystyle f^{(x)}=c(x-a)^{d}}$ pour des nombres ${\displaystyle (a,c)\in {C}}$[1]. »

En 2007, les mathématiciens Hans-Christian Graf von Bothmer, Olivier Labs, Josef Schicho et Christiaan van de Woestijne démontrent que la conjecture est vraie si ${\displaystyle d=p^{k}}$ ou ${\displaystyle d=2p^{k}}$. Où ${\displaystyle p}$ est un nombre premier est ${\displaystyle k}$ un entier naturel non nul[2].

Mustapha Chellali et Alain Salinier prouvent que la conjecture est vraie si ${\displaystyle d=5p^{e}}$ où ${\displaystyle e}$ est un nombre entier et ${\displaystyle p}$ est un nombre premier différent de 2, 3, 7, 11, 131, 193, 599, 3541 et 8009. Ils publient leurs travaux sur HAL, une plateforme en ligne développée par le Centre pour la communication scientifique directe[3].

En 2018, le mathématicien argentin César Massri affirme avoir démontré la conjecture de Casas-Alvero dans son article The Casas-Alvero Conjecture is true[4].