Conjecture de Herzog-Schönheim

En mathématiques, la conjecture de Herzog-Schönheim est un problème de combinatoire et de théorie des groupes, dont la résolution généraliserait à un groupe quelconque le théorème de Mirsky-Newman, valable pour le groupe ℤ des entiers relatifs.

Énoncé

Soient G un groupe et {a₁G₁, … , a_kG_k} (k > 1) une partition finie de G par des classes à gauches suivant des sous-groupes G₁, … , G_k. Marcel Herzog et Jochanan Schönheim ont conjecturé[1] que les indices (finis[2]) [G:G₁], … , [G:G_k] ne peuvent être tous distincts.

Groupes pyramidaux

Berger, Felzenbaum et Frankel[3] ont démontré cette conjecture dans le cas où G est un groupe fini « pyramidal », c'est-à-dire qu'il existe une suite de sous-groupes

\{1\}=G_{n}\subset G_{n-1}\subset \ldots \subset G_{0}=G

telle que pour chaque k < n, l'indice [G_k:G_{k +1}] soit le plus petit facteur premier de l'ordre de G_k (ce qui implique que G_{k +1} est normal dans G_k, donc que G est résoluble).

Tout groupe fini super-résoluble est pyramidal et tout groupe nilpotent de type fini est super-résoluble.

Sous-groupes sous-normaux

Plus généralement, Zhi Wei Sun a démontré la conjecture sous la seule hypothèse que les sous-groupes G_i sont sous-normaux dans G[4] (ce qui ne nécessite plus que G soit fini, et s’applique en particulier à G = ℤ), et en supposant seulement que les classes a_iG_i forment, au lieu d'une partition, un système « exactement couvrant », ou « uniforme », c'est-à-dire que le nombre de ces classes auxquelles un élément de G appartient est indépendant de cet élément, mais pas forcément égal à 1.

Il utilise entre autres le lemme de base suivant[5] : si G₁, … , G_k sont des sous-groupes sous-normaux d'indices finis dans G, alors

{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k}[G:G_{i}].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Herzog–Schönheim conjecture » (voir la liste des auteurs).

(en) M. Herzog et J. Schönheim, « Research problem No. 9 », Can. Math. Bull., vol. 17, n^o 1,‎ 1974, p. 150 (lire en ligne)
D'après un théorème de 1954 de Bernhard Neumann, si {a₁G₁, … , a_kG_k} forme un système couvrant d'un groupe G alors le sous-système correspondant aux G_i d'indices finis aussi, comme le rappelle (en) Zhi-Wei Sun, « Exact m-covers of groups by cosets », European J. Combin., vol. 22, n^o 3,‎ 2001, p. 415-429 (lire en ligne).
(en) Marc A. Berger, Alexander Felzenbaum et Aviezri Fraenkel, « Remark on the multiplicity of a partition of a group into cosets », Fund. Math., vol. 128,‎ 1987, p. 139-144 (lire en ligne)
(en) Zhi-Wei Sun, « On the Herzog-Schönheim conjecture for uniform covers of groups », Journal of Algebra, vol. 273, n^o 1,‎ 2004, p. 153–175, arXiv:math/0306099
Sun 2001

Voir aussi

(en) M. A. Berger, A. Felzenbaum et A. S. Fraenkel, « Lattice parallelotopes and disjoint covering systems », Discrete Math., vol. 65,‎ 1987, p. 23-44 (DOI 10.1016/0012-365X(87)90208-1)

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[1] (en) M. Herzog et J. Schönheim, « Research problem No. 9 », Can. Math. Bull., vol. 17, n^o 1,‎ 1974, p. 150 (lire en ligne)

[2] D'après un théorème de 1954 de Bernhard Neumann, si {a₁G₁, … , a_kG_k} forme un système couvrant d'un groupe G alors le sous-système correspondant aux G_i d'indices finis aussi, comme le rappelle (en) Zhi-Wei Sun, « Exact m-covers of groups by cosets », European J. Combin., vol. 22, n^o 3,‎ 2001, p. 415-429 (lire en ligne).

[3] (en) Marc A. Berger, Alexander Felzenbaum et Aviezri Fraenkel, « Remark on the multiplicity of a partition of a group into cosets », Fund. Math., vol. 128,‎ 1987, p. 139-144 (lire en ligne)

[4] (en) Zhi-Wei Sun, « On the Herzog-Schönheim conjecture for uniform covers of groups », Journal of Algebra, vol. 273, n^o 1,‎ 2004, p. 153–175, arXiv:math/0306099

[5] Sun 2001