Constante de Madelung

Si l'on étudie une simple chaine linéaire constituée d'une alternance d'ions positifs et d'ions négatifs, la constante de Madelung se calcule bien. Si on pose ${\displaystyle \phi (0)}$ le potentiel en 0 que l'on veut déterminer, a la distance entre les ions et q leur charge, on a :

${\displaystyle \phi (0)=2\sum _{k=1}^{\infty }V_{k}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}ka}}=2{\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}a}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}=-2{\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}a}}\ln(2).}$

Le calcul de la série finale s'obtient par le développement en série entière du logarithme népérien.

Pour les cas bi- ou tri-dimensionnels, le calcul théorique est plus complexe. Il consiste en l'évaluation d'une somme de la forme ${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{i+j+k}}{\sqrt {i^{2}+j^{2}+k^{2}}}}}$

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