Contre-exemple

La recherche d'un contre-exemple est une méthode utilisée pour prouver que certaines affirmations, prétendant à un caractère de généralité (c'est-à-dire les propositions universelles), sont fausses. Quand un énoncé commence par «  Pour tout… », il suffit, pour prouver qu'il est faux, de trouver un élément (« il existe… ») qui réalise les conditions imposées dans l'hypothèse sans que soit vérifiée la conclusion. C'est la donnée du contre-exemple.

Contrairement à la vie courante, où il est d'usage de dire que l'exception confirme la règle[2], en mathématique, l'existence d'une exception infirme la règle.

Cette méthode est utilisée très tôt dans la pratique mathématique soit pour mettre à bas une conjecture, soit pour prouver qu'une propriété n'est pas réalisée.

Ainsi pour prouver qu'une fonction réelle f n'est pas paire, il suffit d'exhiber un seul réel x pour lequel f(x) diffère de f(–x) alors qu'il faudrait, pour prouver que la fonction est paire démontrer que l'égalité f(x) = f(–x) est vraie pour tout réel x appartenant à l'ensemble de définition de f.

Dans la recherche mathématique, il est fréquent que soient émises des conjectures, c'est-à-dire des propriétés que l'on pense être justes. La découverte d'un contre-exemple permet d'arrêter la recherche d'une démonstration ou d'affiner les hypothèses nécessaires à la réalisation de la conclusion.

C'est ainsi que Fermat conjectura que tous les nombres ${\displaystyle \ F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ (où n est un entier naturel quelconque ; ils sont appelés nombres de Fermat) sont premiers, car il avait constaté que les nombres ${\displaystyle \ F_{0}}$, ${\displaystyle \ F_{1}}$, ${\displaystyle \ F_{2}}$, ${\displaystyle \ F_{3}}$ et ${\displaystyle \ F_{4}}$ le sont.

Euler prouva que cette conjecture était fausse en exhibant le contre-exemple suivant : il calcula ${\displaystyle \ F_{5}}$, qui vaut 4 294 967 297 et qui est divisible par 641.

De même, la conjecture « Une fonction dérivable est-elle intégrale indéfinie de sa dérivée ? » et la découverte de multiples contre-exemples comme celui de l'escalier de Cantor ont permis aux mathématiciens d'affiner les concepts d'intégrale et de primitive.

En pédagogie, la donnée de contre-exemples permet de mettre en évidence la nécessité de la présence de chacune des hypothèses d'un théorème.

Bertrand Hauchecorne, Les Contre-exemples en mathématiques, Ellipses, Paris, 2007 (ISBN 978-2-7298-3418-0)

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