Correction de continuité

Les résultats comme le théorème central limite ou le théorème de Moivre-Laplace donnent des résultats de convergence de variables aléatoires : si les moyennes des variables deviennent assez grandes, les variables convergent en loi vers une loi normale.

Lorsqu'on approche une loi discrète par une loi continue, il faut réécrire les probabilités de la fonction de masse ${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)}$ sous la forme d'une probabilité d'intervalle. Lorsque les valeurs du support de X sont des nombres entiers consécutifs, comme c'est le cas pour la loi binomiale, la probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)}$ doit se réécrire ${\textstyle \mathbb {P} \left(k-{\frac {1}{2}}\leq X\leq k+{\frac {1}{2}}\right)}$ pour que l'on puisse effectuer le calcul de l'aire correspondante dans le modèle continu[1].

Illustration de la convergence de la fonction de masse de la loi binomiale vers la loi normale lorsque n croit.

On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p : ${\displaystyle X\sim B(n,p)}$. L'espérance de X vaut np et sa variance vaut np(1 – p).

Dans le cas où l'espérance est assez grande (en général np ≥ 5), alors on peut faire l'approximation :

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(X\leq x)\approx \mathbb {P} _{Y}\left(Y\leq x+{\frac {1}{2}}\right)}$

où Y suit une loi normale de moyenne np et variance np(1 – p) : ${\displaystyle Y\sim N\left(np,np(1-p)\right)}$.

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