Courbe d'Edwards

En mathématiques, une courbe d'Edwards est une courbe elliptique découverte par le mathématicien Harold Edwards[1]. Les courbes d'Edwards, et en particulier leurs variantes dites tordues, font partie des courbes utilisées pour la cryptographie sur les courbes elliptiques[2]. Bernstein et Lange ont mentionné plusieurs avantages de ces courbes comparativement aux fonctions elliptiques de Weierstrass.

Definition

Des courbes d'Edwards d'équation x2 + y2 = 1 + d ·x2·y2 sur les nombres réels pour d = -300 (rouge), d = -√8 (jaune) et d = 0.9 (bleu).

Une courbe d'Edwards sur un corps commutatif K de caractéristique différente de 2 est une courbe d'équation :

pour deux scalaires et , avec .

Le cas particulier est très commun, de telle sorte que la formule se réduit le plus souvent à :

Structure de groupe

Toutes les courbes d'Edwards sont birationnellement équivalentes à une courbe elliptique de Weierstrass. Tout comme les courbes elliptiques, les courbes d'Edwards peuvent être munies d'une structure de groupe généralement notée additivement.

L'élément neutre est le point .

L'addition est l'opération suivante :

L'opposé d'un point est le point .

Notes et références

  1. (en) Harold M. Edwards, « A normal form for elliptic curves », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 44, , p. 393-422 (lire en ligne, consulté le )
  2. (en) Christiane Peters, « EdwardsCurves », S3CM, (lire en ligne, consulté le )

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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