Pic de Hubbert

La courbe de production a été modélisée par la formule suivante (dite fonction logistique) :

${\displaystyle P(t)={\frac {1}{r}}{e^{-t \over \tau } \over (1+e^{-t \over \tau })^{2}}={\frac {1}{r}}{1 \over 2+2\cosh {t \over \tau }}\quad (1)}$

Cette formule ci-dessus est une simplification d'une formule plus générale :

${\displaystyle {P(t)}={a(n-m) \over \tau }\ {e^{-t \over \tau } \over (1+ne^{-t \over \tau })^{2}}}$

qui dérive elle-même de :

${\displaystyle {\int _{0}^{x}P(t)\,\mathrm {d} t}={a}\ {1+m\ e^{-t \over \tau } \over 1+n\ e^{-t \over \tau }}}$

Si maintenant on utilise les conventions suivantes :

${\displaystyle P_{v}(t)=production\,au\,temps\,t,en\,volume.temps^{-1}}$

${\displaystyle Q(t)=part\,produite\,au\,temps\,t,adimensionnel}$

${\displaystyle Q_{v}(t)=volume\,produit\,au\,temps\,t\,en\,volume\!}$

${\displaystyle U=volume\,total\,initial,en\,volume}$

Il vient :

${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}={\frac {1}{U}}\ {\frac {dQ_{v}}{dt}}}$

L'équation (1) vérifie l'équation de Verhulst :

${\displaystyle {\frac {dQ_{v}}{dt}}=rQ_{v}\left(1-{\frac {Q_{v}}{U}}\right)\qquad \!}$

Ce type d'équation a été considérablement utilisé en dehors du domaine du pétrole, particulièrement dans le cadre de la modélisation de la croissance des populations (équations de Lotka-Volterra) ; sous une autre forme (la suite logistique), elle s'inclut dans la théorie du chaos.

Si maintenant on fait l'approximation suivante : ${\displaystyle {\frac {dQ_{v}}{dt}}\approx {\frac {\Delta Q_{v}}{\Delta t}}}$ alors la production annuelle ${\displaystyle P_{A}(t)\approx rQ_{v}(1-{\frac {Q_{v}}{U}})}$ c'est-à-dire qu'elle est définie par une parabole d'intersection zéro et U. C'est cet ensemble de calculs qui a été mis à profit pour déterminer graphiquement U, soit la quantité de réserves pétrolières initiales.

Il ne semble pas qu'on trouve, dans les travaux des différents auteurs, une justification de l'utilisation de cette courbe ; les supporteurs de cette méthode soulignent simplement qu'elle s'applique très bien aux États-Unis ; certains auteurs ont fait des tests systématiques sur de nombreux pays et trouvent des résultats variables ; enfin la méthode appliquée à l'ensemble de la planète fournit des résultats très approximatifs. La forme de la courbe, ainsi que ses implications, font qu'on l'appelle également « Pic de Hubbert ».

La courbe de production mondiale des pays hormis l’OPEP et la CEI a culminé en 2001

• La production annuelle part de zéro.
• La production atteint un sommet qui ne sera jamais dépassé.
• Une fois le pic passé, la production décline jusqu'à ce que la ressource soit complètement épuisée.

En pratique, le sommet est atteint lorsque la moitié environ de la ressource a été exploitée. La diminution inéluctable une fois ce cap franchi s'explique par la nature des gisements, même s'il reste des quantités importantes à exploiter :

• les filons peuvent être aussi riches, mais ils sont plus profonds (les filons superficiels étant exploités en premier), donc plus difficiles à exploiter ;
• les gisements sont moins riches, ou de plus petite taille, ou le métal est plus difficile à extraire du minerai.

Dans le cas du pétrole, cette courbe porte le nom de Pic pétrolier (voir graphe ci-contre), sujet controversé.