Modèle binomial

La création de l’arbre de prix s’effectue en partant de la date à laquelle on veut valoriser l’option et ce jusqu’à la date d’expiration de l’option. À chaque étape, on accepte que le sous-jacent augmente (up) ou diminue (down) en fonction d’un facteur spécifique (${\displaystyle u}$ ou ${\displaystyle d}$) et ce pour toutes les étapes. (Par définition,${\displaystyle u\geq 1}$ et ${\displaystyle 0<d\leq 1}$). Par conséquent, si ${\displaystyle S}$ est le prix actuel, alors le prix de la période suivante sera ${\displaystyle S_{up}=S\cdot u}$ ou ${\displaystyle S_{down}=S\cdot d}$. Les facteurs utilisés pour évaluer l’augmentation ou la diminution du sous-jacent sont calculés en prenant en compte la volatilité ${\displaystyle \sigma }$ du sous-jacent, la durée de chaque étape mesurée en année ${\displaystyle t}$ (selon la convention du nombre de jours du sous-jacent). En partant du principe que la variance du logS est ${\displaystyle \sigma ^{2}t}$, on obtient :

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {t}}}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {t}}}={\frac {1}{u}}.}$

La méthode utilisée ici pour la création de l’arbre est la méthode de Cox, Ross, et Rubinstein (CRR). Il existe cependant d’autres méthodes, comme celle des « probabilités égales ». La méthode CRR assure le fait que l’arbre est recombinant, c'est-à-dire que si les mouvements du sous-jacent sont d’abord une augmentation puis une diminution, le prix sera le même que si les mouvements suivis avaient été d’abord une diminution puis une augmentation. Dans ce cas là, les deux branches fusionnent et se recombinent. Cette propriété réduit donc le nombre de nœuds de l’arbre et par conséquent accélère le calcul du prix de l’option. Cette propriété permet également de calculer la valeur de l’actif sous-jacent à chaque nœud directement par des formules, sans passer par la création d’un arbre. La valeur d’un nœud est donc :

${\displaystyle S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}}}$

Où

${\displaystyle N_{u}}$ : nombre de ticks vers le haut

${\displaystyle N_{d}}$ : nombre de ticks vers le bas

À chaque dernier nœud d’une branche de l’arbre de probabilité, la valeur de l’option est sa valeur intrinsèque.

Max [ (S – K), 0 ], pour un call,

Max [ (K – S), 0 ], pour un put,

où K est le strike et S est le spot du sous-jacent.

Une fois que l’on a réalisé l’étape précédente, la valeur de l’option pour chaque nœud est trouvée en utilisant la valeur du nœud précédent, en remontant vers le premier nœud de l’arbre (qui est la valeur de l’option à la date à laquelle on veut la valoriser).

Pour résumer : la valeur binomiale est trouvée à chaque nœud en utilisant la supposition de neutralité face au risque (voir : risque neutral valuation).

Les étapes sont les suivantes :

1) En prenant en compte l’hypothèse de neutralité du risque, le prix, aujourd’hui, d’un instrument dérivé est égal à la valeur de ses bénéfices futurs actualisés en fonction du taux sans risque. Par conséquent, la valeur attendue est calculée en utilisant la valeur de l’option lors des deux derniers nœuds (appelés ici option up et option down, soit respectivement une hausse et une baisse) pondérés par leurs probabilités respectives. Soient p la probabilité d’une variation à la hausse de la valeur du sous-jacent et (1-p) la probabilité d’une variation à la baisse. La valeur de l’option est ensuite actualisée avec r le taux sans risque correspondant à la durée de l’option.

La formule suivante est appliquée pour calculer l’espérance à chaque nœud.

Valeur Binomiale = [p × Option up + (1-p) × Option down] × exp (- r × Δt), ou

${\displaystyle C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i+1}+(1-p)C_{t,i-1})\,}$

Où

${\displaystyle C_{t,i}\,}$ est la valeur de l'option pour le ${\displaystyle i^{eme}\,}$ nœud au temps ${\displaystyle {t}\,}$,

${\displaystyle p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}}$ est choisi en fonction de la loi binomiale qui simule le mouvement brownien géométrique de l’action sous-jacente avec les paramètres r et σ.

${\displaystyle q}$ est le rendement du dividende du sous-jacent correspondant à la durée de vie de l’option.

Attention, pour que p soit inférieur à 1, il faut que ${\displaystyle \Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}$

2) Ce résultat est la « valeur binomiale ». Il représente le juste prix du dérivé à un point donné dans le temps (c’est-à-dire chaque nœud), étant donné l’évolution du prix du sous-jacent à ce point. C’est la valeur de l’option à ce point – opposée à la valeur d’exercice.

3) Selon le style de l’option, la possibilité d’un exercice anticipé de l’option à chaque nœud : si l’option peut être exercée et si la valeur d’exercice dépasse la valeur binomiale à ce nœud alors la valeur du nœud est la valeur d’exercice.

• Pour une option Européenne : il n’y a pas la possibilité d’exercer de manière anticipée et la valeur binomiale est utilisée à chaque nœud.

• Pour une option Américaine : puisque l’option peut être conservée ou exercée avant l’échéance, la valeur de chaque nœud est Max (valeur binomiale, valeur d’exercice)

• Pour une option Bermudienne : la valeur à chaque nœud où l’exercice anticipé est autorisé est Max (valeur binomiale, valeur d’exercice) et dans les cas où l’exercice anticipé n’est pas autorisé, la valeur de l’option est la valeur binomiale.

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