Modèle de Verhulst

Si on appelle :

• y la taille de la population ;
• m(y) le taux de mortalité ;
• n(y) le taux de natalité,

alors, en s'inspirant du modèle de Malthus, la taille de la population suit l'équation différentielle

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=y\left(n(y)-m(y)\right)}$

Si m et n sont des fonctions affines respectivement croissante et décroissante alors n – m est une fonction affine décroissante. Si d'autre part, pour y tendant vers 0, la croissance est positive, l'équation peut s'écrire

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=y(a-by)}$ avec a et b deux réels positifs

C'est le modèle proposé par Verhulst[3].

Puis, en posant K = a/b, l'équation devient alors :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=ay\left(1-{\frac {y}{K}}\right)\quad {\text{avec}}\quad a,K>0.}$

Une observation immédiate montre que :

• la fonction constante y = K est solution de cette équation ;
• si y < K alors la population croît ;
• si y > K alors la population décroît.

Le paramètre K est appelé la capacité d'accueil ou capacité de charge.

Le modèle auto-catalytique conduit à la même équation (accroissement proportionnel à la population touchée et à la population restante)

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=\alpha y(K-y)=\alpha Ky\left(1-{\frac {y}{K}}\right).}$

La recherche des fonctions strictement positives définies sur ${\displaystyle [0;+\infty [}$ et vérifiant le système

• ${\displaystyle y(0)=y_{0}~}$
• ${\displaystyle y'=ay\left(1-{\frac {y}{K}}\right)}$

conduit à la solution logistique

${\displaystyle y(t)=K{\frac {1}{1+\left({\frac {K}{y_{0}}}-1\right)e^{-at}}}}$

où l'on observe que la population tend vers la capacité d'accueil K, qu'elle est croissante si la population initiale est inférieure à la population d'accueil et décroissante sinon.

En temps discret, le modèle se transforme en

${\displaystyle u_{n+1}-u_{n}=au_{n}\left(1-{\frac {u_{n}}{K}}\right)}$

Puis, en posant

• ${\displaystyle a+1=\mu }$
• ${\displaystyle v_{n}={\frac {au_{n}}{\mu K}}}$

la relation de récurrence devient

${\displaystyle v_{n+1}=\mu v_{n}(1-v_{n})\,}$

C'est sous cette forme qu'elle est étudiée comme suite logistique. Cette suite, bien que très simple par son expression, peut conduire à des résultats très variés ; son comportement varie suivant les valeurs de μ :

• pour μ < 1 (soit ${\displaystyle a}$ < 0), la population décroît et s'éteint
• pour µ = 1 (soit ${\displaystyle a}$ = 0), la population est constante
• pour μ compris entre 1 et 3, c'est-à-dire ${\displaystyle a}$ compris entre 0 et 2, la suite ${\displaystyle (v_{n})}$ converge vers ${\displaystyle {\frac {\mu -1}{\mu }}}$ et l'on retrouve bien une suite ${\displaystyle (u_{n})}$ convergeant vers K
• pour μ supérieur à 3, la suite ${\displaystyle (v_{n})}$ peut, selon les valeurs de μ, osciller entre 2, 4, 8, 16… valeurs ou bien être chaotique.