Découplage (automatique)

Soit le système multivariables linéaire caractérisé par les relations temporelles suivantes :

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=A\,x(t)+B\,u(t)}$

${\displaystyle y(t)=D\,x(t)}$

où le vecteur d’état ${\displaystyle x}$ est de dimension ${\displaystyle m}$ et où les vecteurs d’entrée ${\displaystyle u}$ et de sortie ${\displaystyle y}$ sont tous deux de dimension ${\displaystyle n}$. Les tailles respectives des matrices (à coefficients constants) correspondent naturellement à celles des vecteurs.

Le découplage consiste à trouver un correcteur pour l’asservissement tel que, commandé en mode de rétroaction, il permette d’affecter une valeur de consigne propre à chaque sortie.

En boucle ouverte, la fonction de transfert est la matrice carrée ${\displaystyle F(p)\ }$ de taille ${\displaystyle n}$ telle que, dans l’espace de Laplace, l’équation du système s’écrive :

${\displaystyle Y(p)=F(p)\,U(p).}$

Appelée matrice de transfert, elle est définie par la relation

${\displaystyle F(p)=C\,(pI-A)^{-1}\,B+D.}$

Après avoir inséré un bloc correcteur en amont de l’entrée, soit un processus à déterminer dont la fonction de transfert est une matrice ${\displaystyle C(p)\ }$ de taille ${\displaystyle n}$, le contrôle en boucle fermée conduit à la relation

${\displaystyle Y(p)=F_{BF}(p)\,Y_{c}(p)}$ où

${\displaystyle F_{BF}(p)=[I+F(p)\,C(p)]^{-1}\,F(p)\,C(p)}$

est la matrice de transfert en boucle fermée et où ${\displaystyle Y_{c}(p)\ }$ désigne la consigne.

Le découplage est l’opération consistant à trouver ${\displaystyle C(p)\ }$ de sorte que la forme de ${\displaystyle F_{BF}(p)\ }$ soit diagonale.

Soit ${\displaystyle \Omega (p)\ }$ une matrice diagonale dont les termes sont les ${\displaystyle \lambda _{i}(p)\ }$, ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$.

Ainsi, le correcteur ${\displaystyle C(p)\ }$ devrait vérifier

${\displaystyle [I+F(p)\,C(p)]^{-1}\,F(p)\,C(p)=\Omega (s)}$

soit

${\displaystyle C(p)=F(p)^{-1}\ \Omega (p)\ [I-\Omega (p)]^{-1}.}$

Notons ${\displaystyle d_{k}\ }$ le vecteur de dimension ${\displaystyle m}$ dont les composantes correspondent aux éléments de la k ème ligne de ${\displaystyle D\ .}$ La relation liant ${\displaystyle y(t)\ }$ à ${\displaystyle x(t)\ }$ s’écrit alors

${\displaystyle y(t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}d_{1}^{T}\\\vdots \\d_{n}^{T}\end{bmatrix}}x(t).}$

Considérons la composante ${\displaystyle y_{k}(t)\ }$ :

${\displaystyle y_{k}(t)=d_{k}^{T}\,x(t)}$

implique

${\displaystyle {\dot {y}}_{k}(t)=d_{k}^{T}\,{\dot {x}}(t)=d_{k}^{T}\,A\,x(t)+d_{k}^{T}\,B\,u(t).}$

Si ${\displaystyle d_{k}^{T}\,B=0,}$ alors ${\displaystyle {\dot {y}}_{k}(t)=d_{k}^{T}\,A\,x(t),}$

ce qui implique

${\displaystyle {\ddot {y}}_{k}(t)=d_{k}^{T}\,A\,{\dot {x}}(t)=d_{k}^{T}\,A^{2}\,x(t)+d_{k}^{T}\,A\,B\,u(t).}$

Si ${\displaystyle d_{k}^{T}\,A\,B=0,}$ alors ${\displaystyle {\ddot {y}}_{k}(t)=d_{k}^{T}\,A^{2}\,x(t),}$

le processus peut se poursuivre.

Dans ce même esprit, soit ${\displaystyle j_{k}}$ le plus petit entier positif ou nul tel que ${\displaystyle d_{k}^{T}\,A^{j_{k}}\,B\not =0.}$

Alors ${\displaystyle y_{k}^{(j_{k}+1)}(t)=d_{k}^{T}\,A^{j_{k}+1}\,x(t)+d_{k}^{T}A^{j_{k}}\,B\,u(t).}$

Ces égalités permettent de définir ${\displaystyle {\hat {y}}(t)}$ satisfaisant la relation

${\displaystyle {\hat {y}}(t)={\begin{bmatrix}y_{1}^{(j_{1}+1)}(t)\\\vdots \\y_{n}^{(j_{n}+1)}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}d_{1}^{T}\,A^{j_{1}+1}\\\vdots \\d_{n}^{T}\,A^{j_{n}+1}\end{bmatrix}}x(t)+{\begin{bmatrix}d_{1}^{T}\,A^{j_{1}}\\\vdots \\d_{n}^{T}\,A^{j_{n}}\end{bmatrix}}\,B\,u(t)}$

qui s’écrit sous la forme synthétique suivante :

${\displaystyle {\hat {y}}(t)=F\,x(t)+L\,u(t),}$

${\displaystyle L\ }$ étant une matrice carrée de taille ${\displaystyle n}$.

Si ${\displaystyle L\ }$ est inversible, alors

${\displaystyle u(t)=L^{-1}\,[{\hat {y}}(t)-F\,x(t)]}$

et le découplage est possible.

Dans ce cas, le système découplé se réduit à des sous-systèmes qui, dans l’espace de Laplace, s’expriment par :

${\displaystyle {\frac {Y_{k}(p)}{{\hat {Y}}_{k}(p)}}=p^{-(j_{k}+1)},}$

chacun d’eux correspondant à un processus d’intégrations successives.

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