Induction électrique

L'induction électrique est une grandeur vectorielle[2]^,[3]. De dimension L^–2·T·I[2], elle est homogène à une excitation électrique[4] et une polarisation électrique[5]. Dans le Système international (SI) d'unités, elle s'exprime en coulombs par mètre carré (C/m² ou C m⁻²)[2]^,[3].

Ce choix d'unités résulte du théorème de Gauss. Voir aussi Induction électrique dans un condensateur, infra.^{[précision nécessaire]}

En général, on considère les milieux dits linéaires, ${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},\omega )}$ est alors relié au champ électrique ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},\omega )}$ par la relation

${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},\omega )\ =\ \epsilon ({\vec {r}},\omega )\times {\vec {E}}({\vec {r}},\omega )}$

où :

• ${\displaystyle \epsilon ({\vec {r}},\omega )}$ représente la permittivité absolue du milieu, qui est une matrice 3x3 dans les milieux anisotropes, et une fonction dans les milieux isotropes. Cette relation n'est pas universelle : échappent à cette relation, entre autres, les milieux électriquement non linéaires (${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},\omega )}$ dépend alors aussi des termes quadratiques de ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},\omega )}$),

${\displaystyle {\vec {D}}={\frac {\vec {E}}{\|{\vec {E}}\|}}\left(\epsilon ^{(1)}\cdot \|{\vec {E}}\|+\epsilon ^{(2)}\cdot \|{\vec {E}}\|^{2}+\epsilon ^{(3)}\cdot \|{\vec {E}}\|^{3}+\cdots \right)}$

et les milieux dits « chiraux » (${\displaystyle {\vec {D}}({\vec {r}},\omega )}$ dépend alors linéairement de ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},\omega )}$ mais aussi du champ magnétique ${\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}},\omega )}$).

Pour un condensateur, la densité de charge sur les plaques est égale à la valeur du champ ${\displaystyle {\vec {D}}}$ entre les plaques. Ceci résulte directement du théorème de Gauss, si on intègre sur une boîte rectangulaire chevauchant la surface d'une des plaques du condensateur :

${\displaystyle \oint _{S}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=Q}$

où ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}}$ est l'élément d'aire orientée de la boîte et ${\displaystyle Q}$ la charge accumulée par le condensateur. La partie de la boîte à l'intérieur de la plaque a un champ nul (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est nulle), et sur les bords de la boîte, ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}}$ est perpendiculaire au champ (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est aussi nulle). Finalement, il reste :

${\displaystyle |{\vec {D}}|={\frac {Q}{S}}}$,

ce qui représente la densité de charge de la plaque.