D'alembertien

Le d'alembertien, en général noté par un carré ${\displaystyle \Box }$, s'écrit, dans un système de coordonnées cartésiennes,

${\displaystyle \Box =-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$ , où c est la vitesse de la lumière ou, d'une manière plus générale, la célérité de l'onde (qui peut être acoustique) ; on peut l'écrire en fonction du laplacien par :

${\displaystyle \Box =-\Delta +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$.

Plus généralement, partant de la métrique de Minkowski η_ab, on peut réécrire le d'alembertien selon la formule

${\displaystyle \Box =\eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\partial ^{\mu }\partial _{\mu },}$

où l'on effectue la somme sur toutes les coordonnées t, x, y, z. Cette définition est cependant dépendante de la convention de signe de la métrique, aussi le signe du d'alembertien dépend-il parfois des auteurs.

Le d'alembertien apparait dans l'équation d'onde du quadripotentiel électromagnétique et est, d'une manière plus générale, l'équation qui modélise toute propagation d'une onde acoustique ou électromagnétique :

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0.}$

L'équation de Klein-Gordon fait également intervenir l'opérateur :

${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi =0.}$