Théorie des mécanismes

• contact ponctuel : en faisant se toucher une sphère et un plan, le contact théorique se résume à un point. En pratique, si la liaison doit transmettre des efforts, ce contact va s'écraser quelque peu et devenir une petite surface, sans quoi la pression serait infinie. L'appui ponctuel est cependant la plus précise de toutes les liaisons et la seule qui permette de localiser le contact réel dans une toute petite zone de l'espace. On ne s'en servira guère pour transmettre des efforts, sauf sous forme de contact roulant, en revanche on l'utilisera à chaque fois que l'on aura besoin de précision : transmission d'une information de position, construction d'appareils de mesure, montages de premier usinage, etc.
• contact linéique : on le rencontre dans les deux appuis linéaires, rectiligne et annulaire. Il supporte davantage d'efforts que le contact ponctuel, mais les imperfections des surfaces font que l'on ne connaît jamais avec précision les zones réelles dans lesquelles se font les portées entre les pièces.
• contact surfacique : on le trouve dans l'appui plan, le pivot glissant et la rotule. Pour l'obtenir, il faut deux surfaces complémentaires présentant des courbures opposées. En pratique les efforts transmis sont beaucoup plus importants que pour les contacts ponctuel et linéique, tandis que les zones réelles de portées sont toujours très mal déterminées. Ces liaisons seront donc refusées s'il faut transmettre des informations et au contraire recherchées pour transmettre des puissances.

Une liaison unilatérale transmet certains efforts ou interdit certains mouvements dans un seul sens. Une liaison bilatérale qui transmet un effort transmet aussi l'effort opposé et de même, si elle interdit un mouvement, elle interdit également le mouvement opposé.

Les trois liaisons qui comportent un plan, c'est-à-dire l'appui ponctuel, l'appui linéaire rectiligne et l'appui plan, sont des liaisons unilatérales. Au contraire, l'appui linéaire annulaire, le pivot glissant et la rotule sont des liaisons bilatérales.

Une liaison unilatérale transmet les efforts dans un seul sens, et elle le fait alors sans jeu. Si les efforts changent de sens, elle n'existe plus. Une liaison bilatérale subsiste lorsque les efforts transmis changent de sens, mais le jeu se rattrape alors d'un côté ou de l'autre et les positions relatives des pièces ne sont plus déterminées avec une grande précision.

On raisonne souvent comme si les liaisons unilatérales étaient en fait bilatérales. Après tout, loger une sphère, un cylindre ou un « bloc » entre deux plans parallèles n'est pas vraiment plus difficile que d'ajuster deux sphères l'une à l'autre pour former une rotule.

On prend maintenant pour exemple un mécanisme constitué d'une tige cylindrique montée dans un alésage du socle, donc liée à celui-ci par un pivot glissant.

On comprend facilement, compte tenu des hypothèses posées précédemment, que les particularités des mouvements autorisés et des efforts transmissibles par cette liaison ne dépendent ni de la longueur du cylindre selon lequel se fait le contact, ni de son diamètre, ni de sa position longitudinale, ni du fait que ce cylindre puisse être morcelé en plusieurs parties. On parle bien ici des particularités, pas des valeurs numériques. Pour les exprimer, il faut se référer à l'axe commun aux deux cylindres, qui constitue la référence centrée du pivot glissant.

Les références centrées sont en quelque sorte les « squelettes » des liaisons :

On doit toujours garder cette liste présente à l'esprit !

Un système d'axes, un ensemble de notations, ne sont que des outils, qu'il faut choisir avec discernement, et seulement si l'on en a vraiment besoin. En les choisissant mal, on complique les problèmes d'une manière redoutable et l'on finit par échouer avec panache ! S'il faut utiliser un système d'axes, on ne le placera pas n'importe comment, on l'appuiera au contraire sur les références centrées des liaisons pour que les efforts ou les mouvements puissent être exprimés de la façon la plus simple possible.

On prend ici le pivot glissant comme exemple ; il peut être étudié en statique ou en cinématique, peu importe, mais souvent il faut faire les deux études car on a besoin des ensembles de valeurs numériques qui définissent les efforts et les vitesses.

Il faut toujours garder à l'esprit les valeurs caractéristiques des diverses liaisons simples !

• On ne retrouve jamais les degrés de liberté, sous quelque forme que ce soit, dans les équations d'équilibre en statique ou dans les relations de compatibilité des mouvements en cinématique, en fait, leur utilisation se cantonne à appuyer une éventuelle description qualitative d'un système.
• Dans beaucoup d'esprits, le cas du système vis-écrou pose problème. En effet, la vis peut avancer par rapport à l'écrou dans la direction de l'axe et tourner autour de l'axe. Il existe donc deux mouvements relatifs possibles mais ces mouvements ne sont pas indépendants puisque la vitesse de translation et la vitesse de rotation sont toujours liées. Ainsi, la liaison hélicoïdale introduit 5 degrés de liaison et un seul degré de liberté et non deux.

• un degré de mobilité correspond à un mouvement indépendant d'une pièce ou d'un groupe de pièces.

Dans l'exemple ci-dessous, sous réserve évidemment que les liaisons n'arrivent pas en butée, il existe 3 degrés de mobilité : la rotation de la pièce « rouge » autour de l'axe A qui passe par les centres des rotules 1 et 2, la rotation de la pièce « bleue » autour de l'axe B qui passe par les centres des rotules 2 et 3, mais aussi la rotation simultanée des pièces « rouge » et « bleue » autour de l'axe C qui passe par les centres des rotules 1 et 3. Cette dernière rotation subsiste, par exemple, si l'on remplace la rotule 2 par une soudure.

Les trois vitesses de rotations sont absolument indépendantes les unes des autres, elles peuvent prendre n'importe quelle valeurs et se produire séparément ou simultanément.

• Il est absolument impossible de trouver le nombre des degrés de mobilité des pièces en utilisant les degrés de liberté introduits par les liaisons.

• Un degré d'hyperstaticité est nécessairement accompagné d'une condition géométrique correspondante. Imposer une condition géométrique n'a de sens que si on peut la mesurer. Les conditions géométriques complexes se ramènent toujours à deux sortes de conditions géométriques élémentaires dont chacune est relative à une distance ou à un angle. Par exemple, la perpendicularité d'un axe avec un plan représente deux conditions élémentaires, puisqu'il faut vérifier que l'angle de l'axe et du plan est droit dans deux directions différentes. Le parallélisme de deux plans suppose que l'on mesure les distances a, b et c de trois points d'un plan par rapport à l'autre et que l'on vérifie que a = b = c, ce qui fait deux conditions ; si de plus la distance des deux plans est imposée, cela fait une troisième condition. Pour vérifier qu'un point se trouve bien sur un axe, il faut effectuer deux mesures. Et ainsi de suite ...
• Il est absolument impossible de trouver le nombre des degrés d'hyperstaticité des pièces en utilisant les degrés de liberté introduits par les liaisons.
• Une liaison en chaîne continue ouverte n'est jamais hyperstatique.
• Dans une chaîne continue fermée, le degré d'hyperstaticité ne peut pas dépasser 6.

• Les résultats d'une étude ne doivent pas s'exprimer en fonction des outils de modélisation qui y ont été utilisés.

En effet, on comprend facilement que la température d'un objet ne doit pas dépendre du thermomètre qui a servi à la mesurer. De même, les propriétés d'un mécanisme dépendent de ce mécanisme lui-même et absolument pas de la façon dont on l'a étudié, ni des outils que l'on a utilisé pour l'étude. C'est pourquoi on ne doit jamais tirer des conclusions comme « la pièce A tourne autour de l'axe Ox », mais par exemple « la pièce A peut tourner par rapport au bâti B autour de l'axe qui passe par les centres des rotules 1 et 2 » ou encore « la pièce A peut coulisser par rapport à la pièce C dans la direction parallèle au plan de l'appui linéaire rectiligne 1 et à l'axe de la liaison linéaire annulaire 2 »

• On notera ici que le mouvement d'un solide ne peut être défini que par rapport à un autre système matériel de référence et qu'il doit rester compatible avec les surfaces fonctionnelles utilisées pour réaliser les liaisons qui constituent le mécanisme étudié.

On utilise parfois le terme hypostatisme lorsqu'un système possède des mobilités internes dites "parasites", c'est-à-dire pouvant nuire au bon fonctionnement de celui-ci.

Cependant, il n'existe pas de définition rigoureuse associée à ce terme, son utilisation est donc restreinte à des fins de vulgarisation.

L'appui ponctuel d'une pièce A sur un bâti B engendre toujours des pressions de contact très élevées et on ne peut donc pas l'utiliser pour transmettre des efforts importants, surtout dans le cas où un glissement peut avoir lieu. L'idée de le remplacer par un mécanisme un peu plus complexe, remplissant exactement la même fonction, mais ne mettant en jeu que des liaisons surfaciques, aboutit à diverses solutions que l'on peut trouver en utilisant à bon escient la formule générale h = N_s - 6p + d. Parmi les solutions possibles, on peut ajouter une pièce intermédiaire I pour obtenir une liaison en chaîne continue ouverte selon le schéma ci-dessous :

• une chaîne continue ouverte n'étant jamais hyperstatique, h = 0. ce n'est pas étonnant, il n'y a aucune condition de montage particulière,
• l'appui plan introduit 3 degrés de liaison, il en va de même pour la rotule, donc N_s = 6,
• comme on a deux pièces liées au bâti, 6 p = 12.

On a donc 0 = 6 - 12 + d, ce qui donne bien évidemment d = 6 degrés de mobilité.

Si la pièce A était liée au bâti par un appui ponctuel « ordinaire », on aurait 0 = 1 - 6 + d, ce qui lui donnerait d = 5 degrés de mobilité. Avec la pièce intermédiaire, elle n'a pas davantage de mobilités, sinon elle serait complètement libre dans l'espace, il est facile de voir que ses mouvements sont exactement ceux que permettrait un appui ponctuel. Naturellement, le 6^e degré de mobilité se retrouve quelque part et cela ne peut être qu'au niveau de la pièce intermédiaire I ; celle-ci peut en effet tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan d'appui et passant par le centre de la rotule.

La pièce intermédiaire I peut aussi se déplacer en translation dans deux directions de l'espace, mais ces mouvements sont liés aux deux translations possibles de la pièce A et ils ne sont donc pas indépendants. D'ailleurs, si l'on soudait la pièce A au bâti B, ces translations seraient supprimées tandis que la rotation subsisterait.

On convient donc de distinguer deux sortes de mobilités, en fonction de l'usage prévu pour les éléments du mécanisme :

• les mobilités utiles sont celles qui font que le mécanisme remplit les fonctions prévues ; il s'agit ici des cinq mobilités de la pièce A, deux translations et trois rotations possibles,
• les mobilités internes n'ont aucun rôle fonctionnel ; ici il n'y en a qu'une, la rotation de la pièce A définie plus haut.

Faut-il supprimer les mobilités internes, ou bien peut-on s'en accommoder ? La réponse est avant tout d'ordre technologique et dépend donc des besoins et du contexte. Ici, la rotation de la pièce I n'a strictement aucune influence sur le mouvement et la précision du positionnement de la pièce A, a priori on n'a pas besoin de s'en préoccuper outre mesure.

Comme précédemment, on peut chercher à remplacer une liaison linéaire annulaire par une liaison en chaîne continue ouverte n'utilisant que des liaisons surfaciques. L'une des solutions possibles utilise un pivot glissant et une rotule :

La pièce A doit posséder les 4 degrés de mobilité utiles qu'elle aurait dans le cas d'une liaison linéaire annulaire directe, ce que l'on vérifiera facilement ici. La formule magique donne cependant :

h = 0 = (4 + 3) - 12 + d, d'où d = 5

Il existe là aussi une mobilité interne évidente, la pièce intermédiaire peut tourner autour de l'axe des cylindres. Cependant, la situation est loin d'être la même que dans le cas précédent, car cette mobilité interne peut nuire à la précision du mécanisme.

Dans le premier exemple, en associant sur la pièce intermédiaire un plan et une sphère, il n'existe qu'un seul cas de figure : la distance du centre de la sphère au plan est fixée une fois pour toutes et impose la distance du centre de la sphère réalisée sur la pièce A au plan d'appui usiné sur le bâti B.

Cette fois, les choses sont très différentes puisque nous avons une alternative : en effet, le centre de la sphère réalisée sur la pièce intermédiaire peut se trouver sur l'axe du cylindre, mais aussi en dehors :

Dans cette situation, la mobilité interne de la pièce I est supprimée tandis que la pièce A voit sa mobilité passer de 4 à 5 degrés. La chaîne continue ouverte est donc équivalente à un appui ponctuel, en effet, tout se passe comme si la sphère réalisée sur la pièce A était en contact extérieur avec un cylindre réalisé sur le bâti ; la pièce intermédiaire ne tourne autour de l'axe du pivot glissant que si elle est mise en mouvement par la pièce A et il est clair que si celle-ci est « soudée » au bâti, plus rien ne bouge.

Idéalement, le remplacement d'une liaison linéaire annulaire par la chaîne continue ouverte proposée nécessite une position précise pour les deux surfaces réalisées sur la pièce intermédiaire : le centre de la sphère doit se trouver très exactement sur l'axe du cylindre. En pratique, même en prenant toutes les précautions voulues, cette coïncidence sera toujours soumise à tolérance et donc seulement approchée.

La question qui se pose donc ici est la suivante : que se passe-t-il lorsque le centre de la sphère est à peu près sur l'axe du cylindre ? Tout d'abord, il n'est pas possible en pratique de faire tourner la pièce intermédiaire en se servant de la pièce A comme d'une manivelle. Si on la saisit directement pour la faire tourner sans provoquer sa translation, le centre de la sphère usinée sur la pièce A décrit un très petit cercle. La position exacte de ce point dépend donc de l'angle de rotation de la pièce intermédiaire et de ce fait, la mobilité interne a une influence directe sur le positionnement de la pièce A et donc sur la précision du mécanisme. Si l'on veut améliorer cette précision, il faut donc ajouter un degré de liaison quelque part afin de supprimer non pas un mouvement indésirable, mais une possibilité de mouvement indésirable. La solution qui vient naturellement à l'esprit est de transformer le pivot glissant en glissière, mais ce n'est pas la seule possible.

Il est relativement facile de comprendre et d'étudier un mécanisme existant, à partir d'un plan ou d'une réalisation concrète. En revanche, il est souvent beaucoup plus délicat de se représenter mentalement un mécanisme, lorsque l'on recherche la solution d'un problème et que celle-ci n'a pas été dessinée ni a fortiori réalisée.

La formule magique h = n_s - 6 p + d suggère, lorsqu'on la sollicite, des combinaisons de liaisons susceptibles de remplir une fonction définie à l'avance, mais ce petit jeu nécessite une certaine gymnastique intellectuelle. En effet, cette formule amène à compter des degrés de liaison mais ce décompte ignore la nature de ces degrés ; or, celle-ci doit impérativement être prise en compte lors de l'étude critique de telle ou telle solution éventuelle.

Les concepteurs dotés de grandes facilités de représentation mentale passeront en revue les diverses possibilités et seront capables de faire très vite un tri exhaustif entre ce qui ne peut pas fonctionner, ce que l'on peut retenir à la rigueur et ce qui a toutes les chances de donner un mécanisme satisfaisant à la fois sur le plan technique et sur celui du coût de revient.

Les autres devront raisonner de façon plus laborieuse et il leur faudra sans doute faire un grand nombre de schémas, en tenant compte non seulement des propriétés individuelles des liaisons, mais aussi des différentes manières de les disposer dans l'espace les unes par rapport aux autres. L'expérience montre qu'il existe, à ce niveau, une vraie difficulté, en particulier pour un très grand nombre d'étudiants en technologie mécanique et même pour certains de leurs professeurs. C'est pourquoi le lecteur est invité à suivre ce paragraphe, volontairement non illustré, en essayant de ne rien dessiner.

On veut lier complètement deux pièces, de façon isostatique, à l'aide d'une liaison composée de deux liaisons simples.

Parmi toutes les solutions permettant d'obtenir le total de 6 degrés de liaison, qui doit être nécessaire et suffisant, la combinaison 3 + 3 est a priori séduisante ; elle conduit à utiliser deux rotules, ou deux appuis plans, ou une rotule et un appui plan. Or, on comprend vite qu'aucune de ces solutions ne convient : quelle que soit la disposition des éléments, il reste toujours au moins un degré de mobilité ET un degré d'hyperstaticité ; dans deux des trois cas (lesquels ?), on peut trouver des dispositions particulières faisant apparaître trois degrés de mobilité ET trois degrés d'hyperstaticité.

Une autre combinaison est 4 + 2, a priori intéressante car elle fait intervenir un pivot glissant, la liaison la moins coûteuse, associé à un appui linéaire rectiligne ou annulaire. Nous laissons au lecteur le soin d'examiner le cas « pivot glissant + linéaire rectiligne », qui ne manque pas d'intérêt, nous réservant d'examiner ci-dessous ce que peut donner une liaison composée d'un pivot glissant et d'une liaison linéaire annulaire.

L'une des pièces comporte une partie sphérique et un cylindre plein ou creux, l'autre un cylindre creux recevant la sphère et un deuxième cylindre creux ou plein ; il devrait être relativement facile de comprendre que les deux possibilités qui sont offertes sont rigoureusement équivalentes et il n'est pas mauvais à ce stade de revenir à la notion de références centrées :

• pour le pivot glissant, il s'agit de l'axe des deux cylindres,
• pour la liaison linéaire annulaire, c'est l'axe du cylindre et le centre de la sphère, le second étant nécessairement situé sur le premier.

On trouvera donc,

• sur l'une des pièces (A par exemple), les axes des deux cylindres ; ceux-ci occuperont a priori une position relative quelconque, que l'on caractérisera par leur distance a, comptée selon leur perpendiculaire commune, et leur angle α,
• sur l'autre pièce (B par exemple), un axe et un point ; a priori la distance b du point à l'axe n'est pas nulle, ce qui correspond à la position la plus probable où le point n'est pas situé sur l'axe.

Sans faire appel à de lourdes démonstrations mathématiques, le lecteur vérifiera :

• facilement, que si b < a le montage est impossible,
• et sans doute un peu plus difficilement que si b > a, lorsque l'assemblage est possible (dans quel cas ne l'est-il pas ?), la liaison est complète et donc forcément isostatique.

Reste le cas fort intéressant où b = a.

Que ces deux distances soient nulles ou non, le centre de la sphère est obligatoirement sur la perpendiculaire commune aux deux axes et la force transmise dans la direction de cette perpendiculaire commune ne peut plus être déterminée, il y a donc au moins un degré d'hyperstaticité.

• si b = a ≠ 0 :

1. dans le cas le plus général où α ≠ 0, les liaisons ne permettent pas à l'une des pièces d'empêcher un mouvement hélicoïdal de l'autre, mais ce mouvement s'arrête dès qu'il a commencé, du moins dans le cadre de nos hypothèses : ni jeu ni serrage, solides parfaits. On a donc une glissière hélicoïdale hyperstatique de degré 1 vite transformée en « machine à coincer ».
2. si les axes sont orthogonaux (on dit bien orthogonaux et pas perpendiculaires), la translation est supprimée et la liaison composée se transforme en pivot, toujours hyperstatique de degré 1, et toujours de type « machine à coincer ».
3. si les axes sont parallèles, alors la rotation est interdite et seule demeure la translation. Nous avons une glissière, toujours hyperstatique de degré 1, mais qui n'est plus vraiment une « machine à coincer » car elle permet un mouvement de grande amplitude. Il n'empêche qu'il existe des solutions sans doute plus géniales pour fabriquer des glissières, celle-ci aura toutes les chances de mal fonctionner, malgré les deux miracles qui devront être faits à l'atelier pour réaliser la condition a = b et le parallélisme absolu des axes.

• si b = a = 0 :

1. lorsque les axes des deux liaisons ne sont pas alignés (on dit bien alignés, et non plus simplement parallèles), toute translation est interdite et la liaison devient un pivot hyperstatique de degré 1, qui ne constituera pas l'avancée technologie du siècle si on essaie de le réaliser ; le fait que les axes puissent être perpendiculaires (on dit bien perpendiculaires et non orthogonaux) ne constitue plus un cas particulier.
2. lorsque les deux axes des liaisons sont alignés, alors la liaison composée devient un pivot glissant hyperstatique d'ordre 2. On a « gagné » un degré de mobilité ET un degré d'hyperstaticité.

Il est impossible de trouver une disposition permettant d'obtenir trois degrés de mobilité, puisque la simple présence du pivot glissant n'en autorise que deux ; les choses en restent donc là. Tout ceci, bien entendu, se démontre mathématiquement, mais tel n'est pas ici notre propos.

La représentation schématique d'un mécanisme est fondamentalement différente de celle d'un circuit hydraulique ou électrique. Sur le papier, peu importe où l'on placera le graphisme conventionnel représentant une pompe, un distributeur, une pile, une résistance, etc. Dans la réalité, d'ailleurs, les éléments hydrauliques peuvent être reliés par des tuyaux souples et pour les éléments électriques, en général, la forme des fils qui les relient importe peu. Il n'en est évidemment pas de même en mécanique, où l'on ne peut représenter valablement les choses qu'en tenant compte de façon rigoureuse de la disposition spatiale des divers éléments.

Il faut parfois même exécuter plusieurs schémas : il arrive en effet que certains mécanismes fonctionnent en général « convenablement », sauf lorsque leurs éléments se trouvent dans des positions particulières pour lesquelles on voit apparaître, en même temps, un même nombre de degrés de mobilité ET d'hyperstaticité. Dans la réalité, cela peut avoir pour conséquence l'apparition de « points durs » ou une défaillance complète.

Il existe une norme indiquant la façon dont les liaisons doivent être représentées schématiquement. L'auteur de ces lignes a eu l'occasion, peu après sa publication, de s'entretenir longuement avec les créateurs de cette norme et d'en souligner certaines insuffisances.

La fonction d'un schéma n'est pas d'être conforme à une norme, mais de permettre ou de faciliter la compréhension d'un mécanisme, d'un processus, du fonctionnement d'un logiciel, d'un cycle biologique ou météorologique, de l'organigramme d'une entreprise, etc.

Bien souvent, le mécanicien inexpérimenté a tendance à fausser une représentation pour pouvoir dessiner les liaisons de façon « conforme ». C'est notamment le cas lorsque des liaisons sont matériellement contenues à l'intérieur d'autres liaisons ; la représentation normalisée se révèle alors tout à fait inadaptée et il faut faire appel à d'autres méthodes qui se rapprochent davantage du dessin technique. Plutôt que de schémas, il vaut alors mieux parler de « dessins simplifiés » ; on les exécute sans jamais perdre de vue le but de son travail, et après une analyse méthodique des paramètres géométriques qui caractérisent le mécanisme à représenter (parallélismes, perpendicularités, angles, distances, intersections, éventuellement proportions et formes, etc.). Une disposition des éléments aussi générale que possible doit être a priori privilégiée ; les situations particulières, s'il en existe, font l'objet de schémas ou de dessins simplifiés complémentaires.

Si tout ce travail peut se faire en entière conformité avec la norme, tant mieux. Sinon, il ne faut pas hésiter à s'affranchir de cette contrainte et à proposer de meilleures solutions, ce qui n'est pas toujours facile ...

• R. Le Borzec, J. Lotterie, Principes de la théorie des mécanismes, Dunod (1975)

• Martin Fürchtegott Grübler (de)

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