Disque de Poincaré

En géométrie, le disque de Poincaré (appelé aussi représentation conforme) est un modèle du plan hyperbolique, ou plus généralement de la géométrie hyperbolique à n dimensions, où les points sont situés dans la boule unité ouverte de dimension n et les droites sont soit des arcs de cercles contenus dans cette boule et orthogonaux à sa frontière, soit des diamètres de la boule. En plus du modèle de Klein et du demi-plan de Poincaré, il a été proposé par Eugenio Beltrami[1] pour démontrer que la consistance de la géométrie hyperbolique était équivalente à la consistance de la géométrie euclidienne.

Exemple de « droites » en représentation conforme.

Pavage du disque de Poincaré par des carrés.

Pavage du disque de Poincaré par des triangles.

La fonction distance

Si u et v sont deux vecteurs de l'espace à n dimensions Rⁿ muni de la norme euclidienne, de norme inférieure à 1, alors il est possible de définir un invariant isométrique de la façon suivante :

\delta (u,v)=2{\frac {\|u-v\|^{2}}{(1-\|u\|^{2})(1-\|v\|^{2})}},

où $\|~\|$ est la norme euclidienne. Alors la fonction distance est définie par

d(u,v)=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v)).

Une telle fonction définit alors un espace métrique qui est un modèle d'espace hyperbolique de courbure constante -1. Pour ce modèle, l'angle entre deux courbes qui se coupent dans l'espace hyperbolique est le même que l'angle du modèle.

Forme métrique

La métrique locale du disque de Poincaré en un point de coordonnées $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ est donnée par la formule suivante :

ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{(1-\sum _{i}x_{i}^{2})^{2}}}

de sorte que, localement, cette métrique est équivalente (en) à une métrique euclidienne du modèle. En particulier, l'angle entre deux droites du plan hyperbolique est exactement le même que l'angle euclidien entre les deux arcs de cercle du modèle.

Relation avec le modèle de l’hyperboloïde

Relation entre le disque de Poincaré et une nappe de l'hyperboloïde.

Le disque de Poincaré, comme le modèle de Klein, a un rapport avec le modèle de l'hyperboloïde. Il est possible de projeter le point [t, x₁, … , x_n] de la nappe supérieure du modèle hyperboloïde sur l'hypersurface t = 0 en l'intersectant avec une droite passant par [-1, 0, … , 0]. Le résultat est le point correspondant du disque de Poincaré.

Géométrie analytique

Droite passant par deux points

Un problème de base en géométrie analytique consiste à trouver une droite passant par deux points. Avec le disque de Poincaré, les droites sont des arcs de cercles qui ont des équations de cette forme :

x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0,

qui est la forme générale d'un cercle orthogonal au cercle unité, ou des diamètres. Étant donné deux points u et v du disque qui n'appartiennent pas un diamètre, nous obtenons, pour le cercle passant par ces points :

x^{2}+y^{2}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})+u_{2}-v_{2}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})+v_{1}-u_{1}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0.

Si les points u et v sont des points de la frontière du disque non diamétralement opposés, cela se simplifie en :

x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x-{\frac {2(u_{1}-v_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0.

Angles et disque de Poincaré

Il est possible de calculer l'angle entre un arc de cercle dont les points idéaux, qui sont ses extrémités donnés par les vecteurs unitaires u et v, et l'arc dont les extrémités sont s et t, au moyen d'une formule. Puisque les points idéaux sont les mêmes pour le modèle de Klein et le disque de Poincaré, les formules sont identiques pour chacun de ces modèles.

Si, dans chaque modèle, les droites sont des diamètres tels que v = –u et t = –s, alors il est possible de trouver l'angle $\theta$ entre deux vecteurs unitaires. La formule est la suivante :

\cos(\theta )=u\cdot s.

Si v = -u mais t ≠ -s, la formule devient, en termes de produit vectoriel,

\cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},

où :

P=u\cdot (s-t),

Q=u\cdot u,

R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)

Si les cordes ne sont pas des diamètres, la formule générale donne :

\cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},

où :

P=(u-v)\cdot (s-t)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t),

Q=(u-v)\cdot (u-v)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v),

R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t).

En utilisant l'identité de Binet-Cauchy et le fait qu'il s'agit de vecteurs unitaires, il est possible de réécrire les expressions ci-dessus en termes de produit scalaire :

P=(u-v)\cdot (s-t)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t),

Q=(1-u\cdot v)^{2},

R=(1-s\cdot t)^{2}.

Notes et références

Eugenio Beltrami, « Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne », Ann. École Norm. Sup. 6,‎ 1869, p. 251–288 (lire en ligne)

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

(en) James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer, 2005, 2^e éd.
(it) Eugenio Beltrami, « Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costanta », Annali di Mat., iI, vol. 2,‎ 1868, p. 232-255
(en) Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones & Bartlett, 1993

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[1] Eugenio Beltrami, « Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne », Ann. École Norm. Sup. 6,‎ 1869, p. 251–288 (lire en ligne)