Distance de Bhattacharyya

Pour deux distributions de probabilité discrète p et q définies sur le même espace de probabilité, la distance de Bhattacharyya est calculée par :

${\displaystyle D_{B}(p,q)=-\ln \left(BC(p,q)\right)}$

où :

${\displaystyle BC(p,q)=\sum _{x\in X}{\sqrt {p(x)q(x)}}}$

est le coefficient de Bhattacharyya.

Pour des distributions de probabilité continues, le coefficient est défini par :

${\displaystyle BC(p,q)=\int {\sqrt {p(x)q(x)}}\,dx}$

Dans les deux cas, ${\displaystyle 0\leq BC\leq 1}$ et ${\displaystyle 0\leq D_{B}\leq \infty }$. La distance de Bhattacharyya n'obéit pas à l'inégalité triangulaire, au contraire de la distance de Hellinger, définie à partir de la distance de Bhattacharyya par ${\displaystyle {\sqrt {1-BC}}}$.

Pour des distributions gaussiennes multivariées ${\displaystyle p_{i}=N(m_{i},P_{i})}$,

${\displaystyle D_{B}={1 \over 8}(m_{1}-m_{2})^{T}P^{-1}(m_{1}-m_{2})+{1 \over 2}\ln \,\left({\det P \over {\sqrt {\det P_{1}\,\det P_{2}}}}\right)}$,

où ${\displaystyle m_{i}}$ et ${\displaystyle P_{i}}$ sont les moyennes et les covariances des distributions, et ${\displaystyle P={P_{1}+P_{2} \over 2}}$ .

Cette écriture montre que dans le cas gaussien, le premier terme de la distance de Bhattacharyya est relié à la distance de Mahalanobis[2].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bhattacharyya distance » (voir la liste des auteurs).