Loi d'Erlang

La densité de probabilité de la distribution d'Erlang est

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}\exp(-\lambda x) \over (k-1)!}\quad {\mbox{pour }}x>0.}$

Le paramètre ${\displaystyle k}$ est le paramètre de forme, et ${\displaystyle \lambda }$ le paramètre d'intensité. Une paramétrisation équivalente met en jeu le paramètre d'échelle ${\displaystyle \theta }$, défini comme l'inverse de l'intensité (c'est-à-dire ${\displaystyle \theta =1/\lambda }$):

${\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}\exp(-{\frac {x}{\theta }})}{\theta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{pour }}x>0.}$

La présence de la factorielle implique que k doit être un entier naturel supérieur ou égal à 1.

La fonction de répartition de la distribution d'Erlang est

${\displaystyle F(x;k,\lambda )={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}}$

où ${\displaystyle \gamma ()}$ est la fonction gamma incomplète. Cette fonction peut aussi s'écrire:

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}e^{-\lambda x}{\frac {(\lambda x)^{n}}{n!}}}$

La distribution d'Erlang est la distribution de la somme de k variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre ${\displaystyle \lambda }$. Si chacune de ces variables aléatoires ${\displaystyle X_{i}}$ représente le temps au bout duquel un événement donné se produit (par exemple, une intervention à la suite d'une panne sur un appareil sans usure et sans mémoire), alors la variable aléatoire ${\displaystyle T_{k}=X_{1}+\dots +X_{k}}$ au bout duquel le k-ème événement a lieu suit une loi d'Erlang de forme k et de paramètre ${\displaystyle \lambda }$.

Si l'on se donne un instant t, on montre que la variable aléatoire ${\displaystyle N_{t}}$ égale au nombre d'entiers k tels que ${\displaystyle T_{k}\leq t}$ suit une loi de Poisson de paramètre ${\displaystyle \lambda t}$[1]. Dans l'interprétation ci-dessus, ${\displaystyle N_{t}}$ est le nombre d'interventions effectuées avant l'instant t.