Dobble

Pour départager plusieurs joueurs qui sont à égalité sur un jeu, ils font une manche de Patate chaude. Le premier joueur qui se débarrasse de sa carte l'emporte.

La parole prime sur l'action. Un joueur ne peut défausser ou piocher une carte avant d'avoir nommé le symbole. Si les joueurs parlent en même temps, c'est l'action qui prime.

Les joueurs peuvent jouer un ou plusieurs jeux ou plusieurs fois le même. Il y a des règles de tournois qui permettent pour chaque jeu de gagner ou de perdre des points. Après avoir joué les 5 jeux, le joueur qui a le plus de points gagne la partie.

Les deux points essentiels pour jouer et pour discuter de la structure du jeu sont :

• Chaque carte porte 8 symboles différents ;
• Il y a toujours un et un seul symbole commun entre deux cartes[2].

Si ces propriétés sont vraies pour un paquet de cartes, elles sont également vérifiées pour tout sous-ensemble du jeu originel. Le fait de perdre des cartes ne change pas fondamentalement la logique du jeu. Inversement, toutes les cartes possibles ne figurent pas dans le jeu originel : par rapport à la structure combinatoire, il "manque" deux cartes dans le paquet initial.

Si l'on extrait du jeu toutes les cartes comportant un symbole donné, on constate que :

• Il y a généralement huit cartes portant un symbole donné : ce sont les « symboles normaux ».
• Quelques symboles n'apparaissent que sur sept cartes.
• Un seul symbole n'apparaît que sur six cartes : le « bonhomme de neige ».

Une autre manière d'examiner la structure du jeu est de choisir une carte quelconque (la clef de tri), puis de distribuer le reste du jeu en huit tas, un tas par symbole sur la carte choisie, chaque tas rassemblant toutes les cartes ayant en commun l'un des symboles de la carte initialement choisie. Comme chaque carte du jeu a un symbole et un seul en commun avec la carte initiale, le choix de cette carte initiale détermine une partition des autres cartes en huit sous-ensembles nécessairement disjoints. Quand on réalise ce tri à partir d'une carte quelconque, on tombe sur l'un de ces deux cas :

• En général, six tas comportent sept cartes (les symboles normaux), et deux tas ne comportent que six cartes :
• Ou bien sept tas comportent sept cartes (symboles normaux), le huitième n'en ayant que cinq : le tas du « bonhomme de neige ».

Le total des cartes ainsi triées faisant 7x6 + 6x2 + 1 = 7x7 + 5x1 + 1 = 55, soit le nombre de cartes du jeu commercialisé. Le manque de symétrie de ces répartitions suggère qu'il serait possible de rajouter deux cartes, de manière que le tri précédent aboutisse toujours à huit tas de sept cartes, pour un total de 57 cartes.

Si l'on extrait du jeu toutes les huit cartes comportant un certain symbole A, on constate que :

• Chacune de ces cartes n'a en commun avec chacune des sept autres que le symbole A.
• Chaque carte ayant huit symboles, les sept autres ne sont donc présents sur aucune autre carte (sinon il y aurait deux symboles en commun sur une paire de carte, A et l'autre).

On voit donc au total 7 × 8 + 1 = 57 symboles différents dans les huit cartes présentes.

Il ne peut pas y avoir dans le reste du jeu une carte portant un autre symbole Z différent des 57 précédents. En effet, s'il y avait une telle carte :

• Ce symbole Z n'est pas le symbole A en commun sur les huit cartes (puisque l'on a déjà extrait du jeu toutes les cartes contenant A).
• Pour chacune des huit cartes extraites précédemment, il y a un symbole en commun avec la carte portant le symbole Z, et ce symbole est différent pour chacune des huit cartes (parce que les huit cartes n'ont en commun que le symbole A).
• Il faut donc que la carte portant cet hypothétique Z ait par ailleurs huit symboles différents en commun avec les huit cartes de la famille A. Elle aurait donc neuf symboles, ce qui est impossible.

Donc, il y a exactement 57 symboles dans le jeu.

C'est-à-dire[3] :

La structure sous-jacente au jeu Dobble est celle de la géométrie finie[2], une généralisation de la géométrie euclidienne dans le plan. Les axiomes du plan projectif veulent en effet que :

(P1) Par deux points distincts passe une droite et une seule.

(P2) Deux droites distinctes se coupent en un et un seul point.

(P3) Chaque droite passe par au moins 3 points.

(P4) Il existe au moins 3 points non alignés.

Si le jeu était complet, l'analogie serait parfaite par rapport à la contrainte de construction du jeu Dobble, qui veut que :

Deux cartes quelconques (points) ont toujours exactement un symbole (droite) en commun.

Deux symboles (droites) distincts (non parallèles) se retrouvent sur une seule carte (point d'intersection) et une seule — sauf le cas des « deux cartes manquantes ».

Ou encore, par dualité[4] :

Deux symboles quelconques (points) se retrouvent toujours sur une carte (droite) et une seule — sauf le cas des « deux cartes manquantes ».

Deux cartes (droites) non identiques (non parallèles) ont toujours en commun un symbole (point) et un seul.

De toute évidence, les deux derniers axiomes sont également vérifiés dans un cas comme dans l'autre.

Plus précisément, la structure d'incidence de Dobble est celle du plan projectif construit sur le corps à 7 éléments ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{7}={\mathbb {Z} }/7{\mathbb {Z} }}$, qui possède bien ${\displaystyle {\frac {7^{3}-1}{6}}=57}$ éléments[5].

Le jeu est fondé sur la structure combinatoire du plan projectif sur le corps à sept éléments, qui comprend normalement 57 « droites » et 57 « points »[2]^,[5]^,[6]. Pour correspondre exactement à cette structure, le jeu devrait être complété par deux cartes supplémentaires, de manière que chaque symbole apparaisse sur exactement huit cartes. S'il manque deux cartes, le symbole qu'elles ont en commun est nécessairement celui de la série incomplète à six cartes, celle du « bonhomme de neige ». Les cartes manquantes le sont car pour des raisons techniques les coûts d'impression auraient été nettement supérieurs à 62 cartes qu'à 60^[pas clair], et le jeu comporte 5 cartes règles en plus des autres cartes[7].

Les autres symboles des cartes manquantes peuvent être identifiés assez facilement[2]. Partant d'une carte « pivot » où figure le « bonhomme de neige », il suffit de répartir le reste du jeu en huit tas, en fonction du symbole que chaque carte a en commun avec la carte « pivot ». On trouve en fin de classement sept tas de sept cartes, et un tas de cinq (celui du « bonhomme de neige »).

Si l'on prend une carte de l'une de ces séries de sept cartes, il y a sur cette carte :

• Le symbole commun de la série (ici : « cavalier d'échec » ou « goutte d'eau »), qui dans la série du « bonhomme de neige » apparaît sur la carte qui porte également le « cavalier d'échec » et la « goutte d'eau ».
• Un symbole en commun avec chacune des cinq autres cartes de la série du « bonhomme de neige », soit cinq autres symboles.

Il reste donc sur cette carte deux autres symboles, qui ne sont pas présents dans la série du « bonhomme de neige » : ce sont les symboles portés par les deux cartes manquantes de la série du « bonhomme de neige ». Dans la série du « bonhomme de neige », ces deux symboles ne peuvent pas être sur la même carte. Donc, l'un des symboles de la paire est sur une carte, et l'autre sur l'autre.

En examinant en parallèle deux des séries de sept cartes, il est possible de proche en proche de déterminer comment les quatorze symboles manquants se répartissent en deux cartes[8] Par exemple, sur l'illustration ci-contre :

• Les symboles manquants sur la première carte de la série « goutte d'eau » sont le « chien jaune » et la « marguerite ». Dans les cartes manquantes de la série du « bonhomme de neige », ces deux symboles ne peuvent pas être sur la même carte. Donc le « chien jaune » est sur l'une des cartes manquantes, et la « marguerite » est sur l'autre.
• Dans l'autre série du « cavalier d'échec », sur la carte qui porte le « chien jaune », le symbole manquant est le « bonhomme orange ». Donc, dans les cartes manquantes de la série du « bonhomme de neige », le « bonhomme orange » ne peut pas être sur la même carte que sur le « chien jaune », il est donc sur la même carte que la « marguerite ».

En balayant ainsi les deux séries de sept cartes, on trouve par appariement de proche en proche que les deux cartes manquantes devraient contenir, outre le « bonhomme de neige » :

Voici un algorithme en langage Python permettant de générer un jeu à partir du nombre de symboles figurant sur chaque carte:

nbSymByCard = 8
nbCards = (nbSymByCard**2) - nbSymByCard + 1
cards = []
n = nbSymByCard - 1
t = []
t.append([[(i+1)+(j*n) for i in range(n)] for j in range(n)])
for ti in range(n-1):
  t.append([[t[0][((ti+1)*i) % n][(j+i) % n] for i in range(n)] for j in range(n)])
t.append([[t[0][i][j] for i in range(n)] for j in range(n)])
for i in range(n):
  t[0][i].append(nbCards - n)
  t[n][i].append(nbCards - n + 1)
  for ti in range(n-1):
    t[ti+1][i].append(nbCards - n + 1 + ti + 1)
t.append([[(i+(nbCards-n)) for i in range(nbSymByCard)]])
for ti in t:
  cards = cards + ti
print (cards)

Cet algorithme donne un jeu conforme à la contrainte de construction du Dobble pour les nombres de symboles par carte égaux à la suite des nombres premiers + 1, c'est-à-dire : 2,3,4,6,8,12,14,18...

En voici un autre, plus court, basé sur[5] qui numérote les symboles à partir de 0 au lieu de 1.

nbSymByCard=8
n=nbSymByCard-1
cards=[[i+n**2 for i in range(n+1)]] + [[(o+i*n) for i in range(n)]+[n+n**2] for o in range(n) ] + [[(o*n+i*(p*n+1))%(n**2) for i in range(n)]+[p+n**2] for p in range(n) for o in range(n)]
print (cards)

i est un indice permettant de parcourir les symboles de la carte correspondant à la pente p et à l'origine o ou o*n. La liste de cartes est une concaténation de 3 listes de cartes:

1. celle de la droite contenant les points sur la ligne d'horizon.
2. celle des droites verticales
3. celle de toutes les autres droites (de pente p≥0).

Dans les deux dernières listes, le dernier terme correspond au point à l'horizon.