Complémentaire (théorie des ensembles)

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, le complémentaire d'une partie d'un ensemble est constitué de tous les éléments de n'appartenant pas à .

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Si l'encadré représente l'ensemble E, la partie bleue est le complémentaire de la blanche.

Le complémentaire de est noté , , [réf. nécessaire]. En cas de risque de confusion, si l'on veut préciser que l'on parle du complémentaire de dans , on note .

Si est différent de l'ensemble vide et de , alors et forment une partition de l'ensemble .

Le cas des ensembles finis

Lorsque est un ensemble fini, la somme des cardinaux de et est égale au cardinal de  :

.

D'où on déduit :

.
Exemple
Pour dénombrer les absents dans une assemblée prévue de cinquante personnes, il suffit de compter les présents. En effet, l'ensemble des personnes absentes est le complémentaire de celui des personnes présentes. Si 47 personnes sont présentes, alors il y a 50 – 47 = 3 absents.

Propriétés essentielles

Le complémentaire de est grisé.

L'ensemble dans lequel on travaille est noté . et sont des sous-ensembles de .

  • .
  • .
  • Un élément de ne peut être à la fois dans et dans son complémentaire , un ensemble et son complémentaire sont donc des ensembles disjoints :
  • Tout élément de est dans ou dans le complémentaire de  :
  • Le complémentaire du complémentaire d'un ensemble est cet ensemble lui-même (l'application « le complémentaire de... » est une involution) :
.
  • Lois de De Morgan ou Dualité :
    • Le complémentaire de l'union de deux ensembles est l'intersection de leurs complémentaires :
      .
    • Le complémentaire de l'intersection de deux ensembles est l'union de leurs complémentaires :
      .

Articles connexes

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